Se M=\left(\begin{array}{rr}-1 & 2 \\\\ 3 & 2\end{array}\right), determine a forma bilinear f: \mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} associada à matriz M, considerando a base canônica de \mathbb{R}^{2}. Essa forma bilinear é simétrica?

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
M = \begin{pmatrix} -1 & 2\\\\ 3 & 2 \end{pmatrix}
e pede para determinar a forma bilinear f : \mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} associada a M na base canônica, e em seguida verificar se essa forma é simétrica.

Passo 2

A definição da forma bilinear associada à matriz M na base canônica é
f(u,v) = u^{T} \,M\, v,
onde u e v são vetores coluna de \mathbb{R}^2.

Passo 3

Sejam
u = \begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\end{pmatrix},\quad v = \begin{pmatrix}y_{1}\y_{2}\end{pmatrix}.
Então
f(u,v) = \begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1 & 2\\\ 3 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}y_{1}\y_{2}\end{pmatrix}.
Calculando produto por partes, obtemos
f(u,v) = -1\,x_{1}y_{1} + 2\,x_{1}y_{2} + 3\,x_{2}y_{1} + 2\,x_{2}y_{2}.

Passo 4

Para verificar se f é simétrica, basta checar se f(u,v)=f(v,u) para todos u,v, o que equivale a exigir M = M^{T}.
Aqui
M^{T} = \begin{pmatrix}-1 & 3\\\ 2 & 2\end{pmatrix},
e vemos que M\neq M^{T} (pois 2\neq3 nos elementos fora da diagonal principal). Logo, f não é simétrica.

Resposta

A forma bilinear associada é
f\bigl((x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})\bigr) = -1\,x_{1}y_{1} + 2\,x_{1}y_{2} + 3\,x_{2}y_{1} + 2\,x_{2}y_{2},
e ela não é simétrica.

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