Questão 1: ( 2,5 pontos) A medida em radianos do ângulo entre \vec{u} e \vec{v} é \frac{\pi}{4}. Sendo \|\vec{u}\|=1,\|\vec{v}\|=7, calcule \left\|\frac{1}{3} \vec{u} \wedge \frac{3}{5} \vec{v}\right\|.

Passo 1

O enunciado diz que o ângulo entre \vec{u} e \vec{v} vale \pi/4, com \|\vec{u}\|=1 e \|\vec{v}\|=7. Precisamos calcular a norma do produto vetorial \displaystyle \left\|\frac{1}{3}\,\vec{u}\wedge\frac{3}{5}\,\vec{v}\right\|.
O conteúdo usado será a fórmula
\|\mathbf{a}\wedge\mathbf{b}\|=\|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|\sin(\theta),
onde \theta é o ângulo entre \mathbf{a} e \mathbf{b}.

Passo 2

Definimos
\mathbf{a}=\frac{1}{3}\,\vec{u}, \quad \mathbf{b}=\frac{3}{5}\,\vec{v}.
Então suas normas são
\|\mathbf{a}\|=\frac{1}{3}\|\vec{u}\|=\frac{1}{3}\cdot1=\frac{1}{3}, \qquad \|\mathbf{b}\|=\frac{3}{5}\|\vec{v}\|=\frac{3}{5}\cdot7=\frac{21}{5}.

Passo 3

Pelo produto vetorial,
\|\mathbf{a}\wedge\mathbf{b}\| =\|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|\sin(\theta),
e aqui \theta=\pi/4.

Passo 4

Substituindo os valores:
\|\mathbf{a}\wedge\mathbf{b}\| =\frac{1}{3}\cdot\frac{21}{5}\,\sin\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) =\frac{21}{15}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} =\frac{7}{5}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} =\frac{7\sqrt{2}}{10}.

Resposta

\frac{7\sqrt{2}}{10}.

Exercícios relacionados