Seja A: \mathbb{R}^{3} \times \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} definida por
A\left(\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)\right)=x_{1} y_{2}+x_{1} z_{2}-y_{1} x_{2}-z_{1} y_{2}+z_{1} z_{2}
Determine a matriz de A em relação à base:
Canônica.

Passo 1

O enunciado define a forma bilinear
A\colon \mathbb{R}^{3}\times\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}
por
A\bigl((x_{1},y_{1},z_{1}),(x_{2},y_{2},z_{2})\bigr) = x_{1}y_{2}+x_{1}z_{2}-y_{1}x_{2}-z_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}.
Queremos a matriz dessa forma na base canônica \{e_{1},e_{2},e_{3}\}, sabendo que, em geral,
M_{ij}=A(e_{i},e_{j}).

Passo 2

Calculemos primeira linha de M:
M_{11}=A( e_{1}, e_{1}) com (x_{1},y_{1},z_{1})=(1,0,0) e (x_{2},y_{2},z_{2})=(1,0,0). Todos os termos são zero, logo
M_{11}=0.
M_{12}=A( e_{1}, e_{2}) com (1,0,0),(0,1,0)
1\cdot1+1\cdot0-0\cdot0-0\cdot1+0\cdot0=1,
logo M_{12}=1.
M_{13}=A( e_{1}, e_{3}) com (1,0,0),(0,0,1)
1\cdot0+1\cdot1-0\cdot0-0\cdot0+0\cdot1=1,
logo M_{13}=1.

Passo 3

Segunda linha de M:
M_{21}=A( e_{2}, e_{1}) com (0,1,0),(1,0,0)
0\cdot0+0\cdot0-1\cdot1-0\cdot0+0\cdot0=-1,
então M_{21}=-1.
M_{22}=A( e_{2}, e_{2}) é zero por simetria dos zeros nos vetores, logo M_{22}=0.
M_{23}=A( e_{2}, e_{3}) com (0,1,0),(0,0,1) também dá zero, logo M_{23}=0.

Passo 4

Terceira linha de M:
M_{31}=A( e_{3}, e_{1}) com (0,0,1),(1,0,0) dá zero, logo M_{31}=0.
M_{32}=A( e_{3}, e_{2}) com (0,0,1),(0,1,0)
0\cdot1+0\cdot0-0\cdot0-1\cdot1+1\cdot0=-1,
logo M_{32}=-1.
M_{33}=A( e_{3}, e_{3}) com (0,0,1),(0,0,1)
0+0-0-0+1\cdot1=1,
logo M_{33}=1.

Resposta

A matriz de A na base canônica é
M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\\\ -1 & 0 & 0\\\\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.

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