Seja A: \mathbb{R}^{3} \times \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} definida por
A\left(\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)\right)=x_{1} y_{2}+x_{1} z_{2}-y_{1} x_{2}-z_{1} y_{2}+z_{1} z_{2}
Determine a matriz de A em relação à base:
\alpha=\{(1,1,1),(1,1,0),(0,1,0)\}.

Passo 1

O enunciado nos dá uma forma bilinear A\colon \mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} definida por
A\bigl((x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2)\bigr) = x_1y_2 + x_1z_2 - y_1x_2 - z_1y_2 + z_1z_2
e pede a matriz de A na base \alpha=\{v_1,v_2,v_3\} com
v_1=(1,1,1),\quad v_2=(1,1,0),\quad v_3=(0,1,0).
Para isso, vamos usar que a matriz M=[m_{ij}] de uma forma bilinear é dada por
m_{ij}=A(v_i,v_j).

Passo 2

Anotamos as coordenadas de cada vetor da base:
v_1=(1,1,1),\quad v_2=(1,1,0),\quad v_3=(0,1,0).

Passo 3

Aplicamos a definição
m_{ij} = A\bigl((x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2)\bigr) = x_1y_2 + x_1z_2 - y_1x_2 - z_1y_2 + z_1z_2
com (x_1,y_1,z_1)=v_i e (x_2,y_2,z_2)=v_j para i,j=1,2,3.

Passo 4

Cálculo da primeira linha i=1: m_{11}=A(v_1,v_1)=1\cdot1+1\cdot1-1\cdot1-1\cdot1+1\cdot1=1, m_{12}=A(v_1,v_2)=1\cdot1+1\cdot0-1\cdot1-1\cdot1+1\cdot0=-1, m_{13}=A(v_1,v_3)=1\cdot1+1\cdot0-1\cdot0-1\cdot1+1\cdot0=0.

Passo 5

Cálculo da segunda linha i=2: m_{21}=A(v_2,v_1)=1\cdot1+1\cdot1-1\cdot1-0\cdot1+0\cdot1=1, m_{22}=A(v_2,v_2)=1\cdot1+1\cdot0-1\cdot1-0\cdot1+0\cdot0=0, m_{23}=A(v_2,v_3)=1\cdot1+1\cdot0-1\cdot0-0\cdot1+0\cdot0=1.

Passo 6

Cálculo da terceira linha i=3: m_{31}=A(v_3,v_1)=0\cdot1+0\cdot1-1\cdot1-0\cdot1+0\cdot1=-1, m_{32}=A(v_3,v_2)=0\cdot1+0\cdot0-1\cdot1-0\cdot1+0\cdot0=-1, m_{33}=A(v_3,v_3)=0\cdot1+0\cdot0-1\cdot0-0\cdot1+0\cdot0=0.

Passo 7

Reunindo os m_{ij} na matriz M, temos
M = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}.

Resposta

\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}

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