([MACHADO et al, 2017], Problema 5 adaptado - Cap. 3) Utilizando o método da bisseção, faça o refinamento da raiz da função
dentro do intervalo
, com precisão de
.
Passo 1
O enunciado pede: usar o método da bisseção para refinar a raiz da função
no intervalo
até obter precisão
.
Informações dadas e pontos importantes:
- Função:
. - Intervalo inicial:
, . - Precisão desejada:
. - Passo necessário antes de aplicar a bisseção: verificar que há troca de sinal em
, isto é que . Só assim a bisseção garante uma raiz nesse intervalo.
Passo 2
Breve aula sobre o método da bisseção (com as fórmulas e o critério de parada):
- A ideia: se
é contínua em e , existe pelo menos uma raiz em . Tomamos o ponto médio
avaliamos
e substituímos o subintervalo
por
ou
de acordo com o sinal, mantendo sempre a condição de troca de sinal.
- Critério de parada usado aqui: reduzimos o comprimento do intervalo até que a meia-largura seja menor ou igual a
; isto é, paramos quando
- Fórmula prática para estimar o número de iterações necessárias:
No nosso caso
e
, então
ou seja, aproximadamente
iterações serão suficientes. Agora vamos aplicar o método passo a passo.
Passo 3
Verificação inicial de troca de sinal (usando os extremos do enunciado):
- Calculemos
:
Então
(negativo).
- Calculemos
:
Então
(positivo).
Como , existe pelo menos uma raiz em
. Podemos aplicar a bisseção.
Como
Passo 4
Iteração 1:
- Intervalo atual:
. - Ponto médio:
- Avaliação:
Como
e
, a raiz está em
. Novo intervalo:
,
.
Passo 5
Iteração 2:
- Intervalo:
. - Ponto médio:
- Avaliação:
Como
e
, a raiz está em
. Novo intervalo:
,
.
Passo 6
Iteração 3:
- Intervalo:
. - Ponto médio:
- Avaliação:
Sinal negativo; como
, a raiz está em
. Novo intervalo:
,
.
Passo 7
Iteração 4:
- Intervalo:
. - Ponto médio:
- Avaliação:
Sinal negativo; como
, a raiz está em
. Novo intervalo:
,
.
Passo 8
Iteração 5:
- Intervalo:
. - Ponto médio:
- Avaliação:
Sinal positivo; como
, a raiz está em
. Novo intervalo:
,
.
Passo 9
Iteração 6:
- Intervalo:
. - Ponto médio:
- Avaliação:
Sinal negativo; como
, a raiz está em
. Novo intervalo:
,
.
Passo 10
Iteração 7:
- Intervalo:
. - Ponto médio:
- Avaliação:
Sinal positivo; como
, a raiz está em
. Novo intervalo:
,
.
Passo 11
Iteração 8:
- Intervalo:
. - Ponto médio:
- Avaliação:
Sinal negativo; como
, a raiz está em
. Novo intervalo:
,
.
Passo 12
Iteração 9 (parada satisfaz o critério):
- Intervalo:
. - Ponto médio:
- Avaliação:
Sinal negativo; como
, a raiz está em
.
Verificação do critério de parada:
- Comprimento do intervalo final:
. - Meia-largura:
.
Portanto já atingimos a precisão exigida.
Escolhemos como aproximação final a média do intervalo final:
Essa aproximação tem erro menor que
.