([MACHADO et al, 2017], Problema 5 adaptado - Cap. 3) Utilizando o método da bisseção, faça o refinamento da raiz da função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3}-2 \mathrm{x}^{2}-20 \mathrm{x}+30 dentro do intervalo \mathrm{x} \in(-5 ;-4), com precisão de \varepsilon=10^{-3}.

Passo 1

O enunciado pede: usar o método da bisseção para refinar a raiz da função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3}-2 \mathrm{x}^{2}-20 \mathrm{x}+30 no intervalo \mathrm{x}\in(-5;-4) até obter precisão \varepsilon=10^{-3}.
Informações dadas e pontos importantes:
  • Função: \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3}-2 \mathrm{x}^{2}-20 \mathrm{x}+30.
  • Intervalo inicial: \mathrm{a}_0=-5, \mathrm{b}_0=-4.
  • Precisão desejada: \varepsilon=10^{-3}.
  • Passo necessário antes de aplicar a bisseção: verificar que há troca de sinal em [\mathrm{a}_0,\mathrm{b}_0], isto é que \mathrm{f}(\mathrm{a}_0)\cdot\mathrm{f}(\mathrm{b}_0)<0. Só assim a bisseção garante uma raiz nesse intervalo.

Passo 2

Breve aula sobre o método da bisseção (com as fórmulas e o critério de parada):
  • A ideia: se \mathrm{f} é contínua em [\mathrm{a},\mathrm{b}] e \mathrm{f}(\mathrm{a})\cdot\mathrm{f}(\mathrm{b})<0, existe pelo menos uma raiz em (\mathrm{a},\mathrm{b}). Tomamos o ponto médio
\mathrm{m}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{2},
avaliamos \mathrm{f}(\mathrm{m}) e substituímos o subintervalo [\mathrm{a},\mathrm{b}] por [\mathrm{a},\mathrm{m}] ou [\mathrm{m},\mathrm{b}] de acordo com o sinal, mantendo sempre a condição de troca de sinal.
  • Critério de parada usado aqui: reduzimos o comprimento do intervalo até que a meia-largura seja menor ou igual a \varepsilon; isto é, paramos quando
\frac{\mathrm{b}-\mathrm{a}}{2}\le\varepsilon.
  • Fórmula prática para estimar o número de iterações necessárias:
n\ge\log_{2}\!\left(\frac{\mathrm{b}_0-\mathrm{a}_0}{2\varepsilon}\right).
No nosso caso \mathrm{b}_0-\mathrm{a}_0=1 e \varepsilon=10^{-3}, então
n\ge\log_{2}\!\left(\frac{1}{0,002}\right)=\log_{2}(500)\approx 8{,}97,
ou seja, aproximadamente 9 iterações serão suficientes. Agora vamos aplicar o método passo a passo.

Passo 3

Verificação inicial de troca de sinal (usando os extremos do enunciado):
  • Calculemos \mathrm{f}(-5):
\mathrm{f}(-5)=(-5)^{3}-2(-5)^{2}-20(-5)+30=-125-2\cdot25+100+30=-125-50+100+30=-45.
Então \mathrm{f}(-5)=-45 (negativo).
  • Calculemos \mathrm{f}(-4):
\mathrm{f}(-4)=(-4)^{3}-2(-4)^{2}-20(-4)+30=-64-2\cdot16+80+30=-64-32+110=14.
Então \mathrm{f}(-4)=14 (positivo).
Como \mathrm{f}(-5)\cdot\mathrm{f}(-4)=-45\cdot14<0, existe pelo menos uma raiz em (-5,-4). Podemos aplicar a bisseção.

Passo 4

Iteração 1:
  • Intervalo atual: [\mathrm{a},\mathrm{b}]=[-5,-4].
  • Ponto médio:
\mathrm{m}_1=\frac{-5+(-4)}{2}=-4{,}5.
  • Avaliação:
\mathrm{f}(-4{,}5)=(-4{,}5)^3-2(-4{,}5)^2-20(-4{,}5)+30=-91{,}125-2\cdot20{,}25+90+30=-91{,}125-40{,}5+120=-11{,}625.
Como \mathrm{f}(-4{,}5)=-11{,}625<0 e \mathrm{f}(-4)=14>0, a raiz está em [-4{,}5,-4]. Novo intervalo: \mathrm{a}=-4{,}5, \mathrm{b}=-4.

Passo 5

Iteração 2:
  • Intervalo: [-4{,}5,-4].
  • Ponto médio:
\mathrm{m}_2=\frac{-4{,}5+(-4)}{2}=-4{,}25.
  • Avaliação:
\mathrm{f}(-4{,}25)=(-4{,}25)^3-2(-4{,}25)^2-20(-4{,}25)+30\approx2{,}109375.
Como \mathrm{f}(-4{,}25)>0 e \mathrm{f}(-4{,}5)<0, a raiz está em [-4{,}5,-4{,}25]. Novo intervalo: \mathrm{a}=-4{,}5, \mathrm{b}=-4{,}25.

Passo 6

Iteração 3:
  • Intervalo: [-4{,}5,-4{,}25].
  • Ponto médio:
\mathrm{m}_3=\frac{-4{,}5+(-4{,}25)}{2}=-4{,}375.
  • Avaliação:
\mathrm{f}(-4{,}375)\approx-4{,}521484375.
Sinal negativo; como \mathrm{f}(-4{,}25)>0, a raiz está em [-4{,}375,-4{,}25]. Novo intervalo: \mathrm{a}=-4{,}375, \mathrm{b}=-4{,}25.

Passo 7

Iteração 4:
  • Intervalo: [-4{,}375,-4{,}25].
  • Ponto médio:
\mathrm{m}_4=\frac{-4{,}375+(-4{,}25)}{2}=-4{,}3125.
  • Avaliação:
\mathrm{f}(-4{,}3125)\approx-1{,}150390625.
Sinal negativo; como \mathrm{f}(-4{,}25)>0, a raiz está em [-4{,}3125,-4{,}25]. Novo intervalo: \mathrm{a}=-4{,}3125, \mathrm{b}=-4{,}25.

Passo 8

Iteração 5:
  • Intervalo: [-4{,}3125,-4{,}25].
  • Ponto médio:
\mathrm{m}_5=\frac{-4{,}3125+(-4{,}25)}{2}=-4{,}28125.
  • Avaliação:
\mathrm{f}(-4{,}28125)\approx0{,}495330810546875.
Sinal positivo; como \mathrm{f}(-4{,}3125)<0, a raiz está em [-4{,}3125,-4{,}28125]. Novo intervalo: \mathrm{a}=-4{,}3125, \mathrm{b}=-4{,}28125.

Passo 9

Iteração 6:
  • Intervalo: [-4{,}3125,-4{,}28125].
  • Ponto médio:
\mathrm{m}_6=\frac{-4{,}3125+(-4{,}28125)}{2}=-4{,}296875.
  • Avaliação:
\mathrm{f}(-4{,}296875)\approx-0{,}323776550586.
Sinal negativo; como \mathrm{f}(-4{,}28125)>0, a raiz está em [-4{,}296875,-4{,}28125]. Novo intervalo: \mathrm{a}=-4{,}296875, \mathrm{b}=-4{,}28125.

Passo 10

Iteração 7:
  • Intervalo: [-4{,}296875,-4{,}28125].
  • Ponto médio:
\mathrm{m}_7=\frac{-4{,}296875+(-4{,}28125)}{2}=-4{,}2890625.
  • Avaliação:
\mathrm{f}(-4{,}2890625)\approx0{,}046844359375.
Sinal positivo; como \mathrm{f}(-4{,}296875)<0, a raiz está em [-4{,}296875,-4{,}2890625]. Novo intervalo: \mathrm{a}=-4{,}296875, \mathrm{b}=-4{,}2890625.

Passo 11

Iteração 8:
  • Intervalo: [-4{,}296875,-4{,}2890625].
  • Ponto médio:
\mathrm{m}_8=\frac{-4{,}296875+(-4{,}2890625)}{2}=-4{,}29296875.
  • Avaliação:
\mathrm{f}(-4{,}29296875)\approx-0{,}120032158203125.
Sinal negativo; como \mathrm{f}(-4{,}2890625)>0, a raiz está em [-4{,}29296875,-4{,}2890625]. Novo intervalo: \mathrm{a}=-4{,}29296875, \mathrm{b}=-4{,}2890625.

Passo 12

Iteração 9 (parada satisfaz o critério):
  • Intervalo: [-4{,}29296875,-4{,}2890625].
  • Ponto médio:
\mathrm{m}_9=\frac{-4{,}29296875+(-4{,}2890625)}{2}=-4{,}291015625.
  • Avaliação:
\mathrm{f}(-4{,}291015625)\approx-0{,}0146955.
Sinal negativo; como \mathrm{f}(-4{,}2890625)>0, a raiz está em [-4{,}291015625,-4{,}2890625].
Verificação do critério de parada:
  • Comprimento do intervalo final: \mathrm{b}-\mathrm{a}=-4{,}2890625-(-4{,}291015625)=0{,}001953125.
  • Meia-largura: \dfrac{\mathrm{b}-\mathrm{a}}{2}=0{,}0009765625\le 0{,}001=\varepsilon.
    Portanto já atingimos a precisão exigida.
Escolhemos como aproximação final a média do intervalo final:
\mathrm{x}^{*}=\frac{-4{,}291015625+(-4{,}2890625)}{2}=-4{,}2900390625.
Essa aproximação tem erro menor que \varepsilon=10^{-3}.

Resposta

-4,2900390625

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