([MACHADO et al, 2017], Problema 6 adaptado - Cap. 3) Pelo método da posição falsa, determine todas as raízes reais definidas pela função
, até a precisão de
.
Passo 1
O enunciado pede: usar o método da posição falsa (regula falsi) para determinar todas as raízes reais da função
até a precisão
.
Informações fornecidas e o que vamos procurar:
- A função é
. - A precisão exigida é
. - Devemos encontrar todas as raízes reais de
.
Dados úteis obtidos testando valores simples: -
e → existe uma raiz em . -
e → existe uma raiz em . -
e → existe uma raiz em .
Portanto há três raízes reais, em intervalos disjuntos:
,
e
. A resolução numérica começará a partir desses intervalos.
Passo 2
Explicação didática do método da posição falsa (regula falsi), passo a passo e a fórmula usada.
O método da posição falsa é um método numérico para encontrar uma raiz real em um intervalo
tal que
e
têm sinais opostos (
). A ideia: aproximar
por uma reta que passa pelos pontos
e
, e usar a interseção dessa reta com o eixo
como nova aproximação
da raiz. A fórmula dessa interseção (interpola linearmente) é
Interpretação e decisão:
- Calcula-se
pela fórmula acima. - Se
então é a raiz exata. - Se
tem o mesmo sinal de , substitui-se por (novo intervalo ); se tem o mesmo sinal de , substitui-se por (novo intervalo ). - Repete-se até satisfazer o critério de parada. Aqui vamos utilizar como critério prático: parar quando
(ou quando a variação de entre iterações for menor que ); isso garante que estamos suficientemente próximos da raiz para a tolerância desejada.
Observações práticas e dicas para a prova:
- A fórmula do
é apenas a interseção da reta entre e com o eixo . Não precisa decorar: derive rápido na prova se esquecer. - Sempre verifique o sinal de
para escolher qual extremidade trocar. - Guarde ao menos 4–6 casas decimais nas contas intermédias para que o arredondamento não estrague o resultado final com
.
Agora vamos aplicar o método separadamente em cada intervalo identificado.
Passo 3
Raiz em
(a raiz pequena, entre 0 e 1).
Dados iniciais:
Iteração 1:
Calcule
:
Sinal:
, enquanto
. Logo nova combinação:
,
.
Iteração 2:
Calcule
:
Ainda
. Mantemos
,
.
Iteração 3:
Calcule
:
Agora
. Paramos: a aproximação já está dentro da precisão exigida.
Conclusão para
: raiz aproximada
Passo 4
Raiz em
(a raiz entre 2 e 3).
Dados iniciais:
Iteração 1:
Sinal: negativo → novo intervalo
.
Iteração 2:
Novo intervalo
.
Iteração 3:
novo intervalo
.
Iteração 4:
Iteração 5:
Aplicando novamente a fórmula obtemos
Aplicando novamente a fórmula obtemos
o que satisfaz
.
Conclusão para
: raiz aproximada
Passo 5
Raiz em
(a raiz negativa).
Dados iniciais:
Iteração 1:
Como
e
, novo intervalo
.
Iteração 2:
Usando a fórmula com os valores atuais obtemos
Usando a fórmula com os valores atuais obtemos
Novo intervalo
.
Iteração 3:
Novo intervalo
.
Iteração 4:
Agora os sinais em torno de
e
são opostos, então a raiz está em
.
Iteração 5:
Aplicando a fórmula com (onde
) e
(onde
) obtemos
Aplicando a fórmula com
Agora o intervalo reduz para
.
Iteração 6:
Outra aplicação da fórmula dá
Outra aplicação da fórmula dá
Aqui
, portanto atingimos a tolerância pedida.
Conclusão para
: raiz aproximada