([MACHADO et al, 2017], Problema 6 adaptado - Cap. 3) Pelo método da posição falsa, determine todas as raízes reais definidas pela função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3}-9 \mathrm{x}+3, até a precisão de \varepsilon=10^{-3}.

Passo 1

O enunciado pede: usar o método da posição falsa (regula falsi) para determinar todas as raízes reais da função
f(x)=x^{3}-9x+3
até a precisão \varepsilon=10^{-3}.
Informações fornecidas e o que vamos procurar:
  • A função é f(x)=x^{3}-9x+3.
  • A precisão exigida é \varepsilon=10^{-3}.
  • Devemos encontrar todas as raízes reais de f.
    Dados úteis obtidos testando valores simples:
  • f(-4)=-25 e f(-3)=3 → existe uma raiz em (-4,-3).
  • f(0)=3 e f(1)=-5 → existe uma raiz em (0,1).
  • f(2)=-7 e f(3)=3 → existe uma raiz em (2,3).
Portanto há três raízes reais, em intervalos disjuntos: I_1=(-4,-3), I_2=(0,1) e I_3=(2,3). A resolução numérica começará a partir desses intervalos.

Passo 2

Explicação didática do método da posição falsa (regula falsi), passo a passo e a fórmula usada.
O método da posição falsa é um método numérico para encontrar uma raiz real em um intervalo [a,b] tal que f(a) e f(b) têm sinais opostos ( f(a)f(b)<0 ). A ideia: aproximar f por uma reta que passa pelos pontos (a,f(a)) e (b,f(b)), e usar a interseção dessa reta com o eixo x como nova aproximação c da raiz. A fórmula dessa interseção (interpola linearmente) é
c=\frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)}.
Interpretação e decisão:
  • Calcula-se c pela fórmula acima.
  • Se f\text{(c)}=0 então c é a raiz exata.
  • Se f\text{(c)} tem o mesmo sinal de f(a), substitui-se a por c (novo intervalo [c,b]); se tem o mesmo sinal de f(b), substitui-se b por c (novo intervalo [a,c]).
  • Repete-se até satisfazer o critério de parada. Aqui vamos utilizar como critério prático: parar quando |f\text{(c)}|<\varepsilon (ou quando a variação de c entre iterações for menor que \varepsilon); isso garante que estamos suficientemente próximos da raiz para a tolerância desejada.
Observações práticas e dicas para a prova:
  • A fórmula do c é apenas a interseção da reta entre (a,f(a)) e (b,f(b)) com o eixo x. Não precisa decorar: derive rápido na prova se esquecer.
  • Sempre verifique o sinal de f\text{(c)} para escolher qual extremidade trocar.
  • Guarde ao menos 4–6 casas decimais nas contas intermédias para que o arredondamento não estrague o resultado final com \varepsilon=10^{-3}.
Agora vamos aplicar o método separadamente em cada intervalo identificado.

Passo 3

Raiz em I_2=(0,1) (a raiz pequena, entre 0 e 1).
Dados iniciais:
a_0=0,\quad b_0=1,\quad f(a_0)=f(0)=3,\quad f(b_0)=f(1)=1^{3}-9\cdot1+3=-5.
Iteração 1:
c_1=\frac{a_0 f(b_0)-b_0 f(a_0)}{f(b_0)-f(a_0)}=\frac{0\cdot(-5)-1\cdot 3}{-5-3}=\frac{-3}{-8}=0{,}375.
Calcule f(c_1):
f(0{,}375)=0{,}375^{3}-9\cdot0{,}375+3\approx 0{,}052734-3{,}375+3=-0{,}322266.
Sinal: f(c_1)<0, enquanto f(a_0)>0. Logo nova combinação: a_1=a_0=0, b_1=c_1=0{,}375.
Iteração 2:
c_2=\frac{a_1 f(b_1)-b_1 f(a_1)}{f(b_1)-f(a_1)} =\frac{0\cdot(-0{,}322266)-0{,}375\cdot 3}{-0{,}322266-3} =\frac{-1{,}125}{-3{,}322266}\approx 0{,}338560.
Calcule f(c_2):
f(0{,}338560)\approx 0{,}038822-9\cdot0{,}338560+3 \approx 0{,}038822-3{,}047040+3\approx -0{,}008218.
Ainda f(c_2)<0. Mantemos a_2=0, b_2=c_2.
Iteração 3:
c_3=\frac{0\cdot(-0{,}008218)-0{,}338560\cdot 3}{-0{,}008218-3} =\frac{-1{,}015680}{-3{,}008218}\approx 0{,}337608.
Calcule f(c_3):
f(0{,}337608)\approx 0{,}038491-9\cdot0{,}337608+3 \approx 0{,}038491-3{,}038472+3\approx 1{,}9\times10^{-5}.
Agora |f(c_3)|\approx 1{,}9\times10^{-5}<10^{-3}. Paramos: a aproximação já está dentro da precisão exigida.
Conclusão para I_2: raiz aproximada
x\approx 0{,}337608\quad(\text{precisão }10^{-3}).ã

Passo 4

Raiz em I_3=(2,3) (a raiz entre 2 e 3).
Dados iniciais:
a_0=2,\quad b_0=3,\quad f(2)=-7,\quad f(3)=3.
Iteração 1:
c_1=\frac{2\cdot 3 - 3\cdot(-7)}{3-(-7)}=\frac{6+21}{10}=2{,}7.
f(2{,}7)=2{,}7^{3}-9\cdot2{,}7+3\approx 19{,}683-24{,}3+3=-1{,}617.
Sinal: negativo → novo intervalo [2{,}7,\,3].
Iteração 2:
c_2=\frac{2{,}7\cdot 3 - 3\cdot(-1{,}617)}{3-(-1{,}617)} =\frac{8{,}1+4{,}851}{4{,}617}\approx 2{,}803.
f(2{,}803)\approx 2{,}803^{3}-9\cdot2{,}803+3\approx -0{,}204\\ (\text{aprox.}).
Novo intervalo [2{,}803,\,3].
Iteração 3:
c_3=\frac{2{,}803\cdot3 - 3\cdot(-0{,}204)}{3-(-0{,}204)} \approx \frac{8{,}409+0{,}612}{3{,}204}\approx 2{,}815.
f(2{,}815)\approx -0{,}0218\\ (\text{aprox.}),
novo intervalo [2{,}815,\,3].
Iteração 4:
c_4\approx 2{,}817 \quad\text{(aplicando a fórmula com os valores atuais)},ó
f(2{,}817)\approx -0{,}0017\\ (\text{aprox.}).
Iteração 5:
Aplicando novamente a fórmula obtemos
c_5\approx 2{,}81803,\qquad f(c_5)\approx -1{,}3\times10^{-4},
o que satisfaz |f(c_5)|<10^{-3}.
Conclusão para I_3: raiz aproximada
x\approx 2{,}81803\quad(\text{precisão }10^{-3}).ã

Passo 5

Raiz em I_1=(-4,-3) (a raiz negativa).
Dados iniciais:
a_0=-4,\quad b_0=-3,\quad f(-4)=-25,\quad f(-3)=3.
Iteração 1:
c_1=\frac{-4\cdot 3 - (-3)\cdot(-25)}{3-(-25)}=\frac{-12-75}{28}=-\frac{87}{28}\approx -3{,}1071429,
f(c_1)\approx 0{,}966864\\ (>0).
Como f(a_0)<0 e f(c_1)>0, novo intervalo [-4,\,-3{,}1071429].
Iteração 2:
Usando a fórmula com os valores atuais obtemos
c_2\approx -3{,}140296,\qquad f(c_2)\approx 0{,}29486\\ (>0).
Novo intervalo [-4,\,-3{,}140296].
Iteração 3:
c_3\approx -3{,}151025,\qquad f(c_3)\approx 0{,}072826\\ (>0).
Novo intervalo [-4,\,-3{,}151025].
Iteração 4:
c_4\approx -3{,}155029,\qquad f(c_4)\approx -0{,}02570\\ (<0).
Agora os sinais em torno de c_3 e c_4 são opostos, então a raiz está em [-3{,}151025,\,-3{,}155029].
Iteração 5:
Aplicando a fórmula com a=-3{,}151025 (onde f>0) e b=-3{,}155029 (onde f<0) obtemos
c_5\approx -3{,}153350,\qquad f(c_5)\approx 0{,}0049\\ (>0).
Agora o intervalo reduz para [c_5,\,b]=[-3{,}153350,\,-3{,}155029].
Iteração 6:
Outra aplicação da fórmula dá
c_6\approx -3{,}153828,\qquad f(c_6)\approx -8{,}2\times10^{-4}.
Aqui |f(c_6)|\approx 8{,}2\times10^{-4}<10^{-3}, portanto atingimos a tolerância pedida.
Conclusão para I_1: raiz aproximada
x\approx -3{,}153828\quad(\text{precisão }10^{-3}).ã

Resposta

-3{,}153828 \
0{,}337608 \
2{,}818030

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