(MACK-SP-79) Se A e B são dois conjuntos tais que A subset B e A neq emptyset, então
a) sempre existe x in A tal que x notin B.
b) sempre exite x in B tal que x notin A.
c) se x in B então x in A.
d) se x notin B então x notin A.
e) A cap B=emptyset

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos dois conjuntos, A e B , onde A está contido em B ( A subset B ) e que A não é vazio ( A neq emptyset ). Nosso objetivo é analisar as afirmações de (a) a (e) para ver qual delas é verdadeira com base nessas informações. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos básicos de teoria dos conjuntos, como subconjuntos, elementos pertencentes ou não a um conjunto, e operações como interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa A subset B . Isso quer dizer que todo elemento que está em A também está em B . Então, se pegarmos qualquer x que pertence a A , automaticamente x também pertence a B .

Passo 3

Agora, vamos analisar cada alternativa:
a) Sempre existe x in A tal que x notin B .
Como já sabemos que todo x de A está em B , essa afirmação está dizendo que existe um elemento em A que não está em B . Isso contraria a definição de A subset B . Então, essa opção está errada.

Passo 4

b) Sempre existe x in B tal que x notin A .
Aqui, está dizendo que existe pelo menos um elemento em B que não está em A . Como A está contido em B e A não é vazio, é possível que B tenha elementos além dos de A . Portanto, essa afirmação pode ser verdadeira.

Passo 5

c) Se x in B então x in A .
Essa afirmação está dizendo que todo elemento de B está em A . Mas sabemos que A está contido em B , não o contrário. Então, B pode ter mais elementos que A . Logo, essa opção está errada.

Passo 6

d) Se x notin B então x notin A .
Essa é a contrapartida da definição de subconjunto. Se x não está em B , ele definitivamente não está em A , já que tudo de A está em B . Portanto, essa afirmação é verdadeira.

Passo 7

e) A cap B = emptyset .
A interseção de A e B são todos os elementos que estão em ambos. Como A subset B e A não é vazio, a interseção não pode ser vazia. Então, essa opção está errada.

Resposta

As alternativas corretas são b) e d).

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