(MACK-SP-79) Se
e
são dois conjuntos tais que
e
, então
a) sempre existe
tal que
.
b) sempre exite
tal que
.
c) se
então
.
d) se
então
.
e)
a) sempre existe
b) sempre exite
c) se
d) se
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos dois conjuntos,
e
, onde
está contido em
(
) e que
não é vazio (
). Nosso objetivo é analisar as afirmações de (a) a (e) para ver qual delas é verdadeira com base nessas informações. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos básicos de teoria dos conjuntos, como subconjuntos, elementos pertencentes ou não a um conjunto, e operações como interseção.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que todo elemento que está em
também está em
. Então, se pegarmos qualquer
que pertence a
, automaticamente
também pertence a
.
Passo 3
Agora, vamos analisar cada alternativa:
a) Sempre existe
tal que
.
Como já sabemos que todo
de
está em
, essa afirmação está dizendo que existe um elemento em
que não está em
. Isso contraria a definição de
. Então, essa opção está errada.
Passo 4
b) Sempre existe
tal que
.
Aqui, está dizendo que existe pelo menos um elemento em
que não está em
. Como
está contido em
e
não é vazio, é possível que
tenha elementos além dos de
. Portanto, essa afirmação pode ser verdadeira.
Passo 5
c) Se
então
.
Essa afirmação está dizendo que todo elemento de
está em
. Mas sabemos que
está contido em
, não o contrário. Então,
pode ter mais elementos que
. Logo, essa opção está errada.
Passo 6
d) Se
então
.
Essa é a contrapartida da definição de subconjunto. Se
não está em
, ele definitivamente não está em
, já que tudo de
está em
. Portanto, essa afirmação é verdadeira.
Passo 7
e)
.
A interseção de
e
são todos os elementos que estão em ambos. Como
e
não é vazio, a interseção não pode ser vazia. Então, essa opção está errada.
Resposta
As alternativas corretas são b) e d).