(Mackenzie) O lado, a diagonal de uma face e o volume de um cubo são dados, nessa ordem, por três números em progressão geométrica. A área total desse cubo é:
(a) 20
(b) 48
(c) 24
(d) 18
(e) 12
(a) 20
(b) 48
(c) 24
(d) 18
(e) 12
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- Três números, nessa ordem, são: o lado do cubo, a diagonal de uma face do cubo e o volume do cubo.
- Esses três números formam uma progressão geométrica (PG).
O que se pede: - Determinar a área total do cubo.
Dados geométricos do cubo (aqui apenas escrevendo o que vale para um cubo de lado
; são informações que o enunciado relaciona):
- Lado:
. - Diagonal de uma face:
. - Volume:
. - Área total do cubo (o que queremos):
.
Passo 2
O que é uma progressão geométrica (PG) e como usá-la aqui.
- Uma sequência
é uma PG se existe uma razão comum tal que cada termo após o primeiro é obtido multiplicando o anterior por . - Isso significa, para três termos consecutivos, que
Vou aplicar exatamente essa definição aos três números dados: primeiro termo
, segundo termo
e terceiro termo
.
Passo 3
Montar a equação da razão comum usando os termos do enunciado:
Substituindo
,
e
:
Passo 4
Simplificar ambos os lados e resolver para
.
- No lado esquerdo:
- No lado direito:
Igualando as duas expressões:
Multiplicando ambos os lados por
:
Como
é comprimento (lado do cubo) ele é positivo, então
Passo 5
Calcular a área total do cubo usando
.
- Fórmula da área total:
. - Como
, temos
Passo 6
Verificação rápida (para ganhar confiança):
- Primeiro termo:
. - Segundo termo:
. - Terceiro termo:
. - Razões:
e . As razões coincidem, logo realmente formam uma PG.
Resposta
(e) 12