(Mackenzie) O lado, a diagonal de uma face e o volume de um cubo são dados, nessa ordem, por três números em progressão geométrica. A área total desse cubo é:
(a) 20
(b) 48
(c) 24
(d) 18
(e) 12

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • Três números, nessa ordem, são: o lado do cubo, a diagonal de uma face do cubo e o volume do cubo.
  • Esses três números formam uma progressão geométrica (PG).
    O que se pede:
  • Determinar a área total do cubo.
Dados geométricos do cubo (aqui apenas escrevendo o que vale para um cubo de lado s; são informações que o enunciado relaciona):
  • Lado: s.
  • Diagonal de uma face: s\sqrt{2}.
  • Volume: s^{3}.
  • Área total do cubo (o que queremos): A_{\text{tot}}=6s^{2}.

Passo 2

O que é uma progressão geométrica (PG) e como usá-la aqui.
  • Uma sequência a_{1},a_{2},a_{3},\dots é uma PG se existe uma razão comum r tal que cada termo após o primeiro é obtido multiplicando o anterior por r.
  • Isso significa, para três termos consecutivos, que
\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}=r.
Vou aplicar exatamente essa definição aos três números dados: primeiro termo a_{1}=s, segundo termo a_{2}=s\sqrt{2} e terceiro termo a_{3}=s^{3}.

Passo 3

Montar a equação da razão comum usando os termos do enunciado:
\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}
Substituindo a_{1}=s, a_{2}=s\sqrt{2} e a_{3}=s^{3}:
\frac{s\sqrt{2}}{s}=\frac{s^{3}}{s\sqrt{2}}.

Passo 4

Simplificar ambos os lados e resolver para s.
  • No lado esquerdo:
\frac{s\sqrt{2}}{s}=\sqrt{2}.
  • No lado direito:
\frac{s^{3}}{s\sqrt{2}}=\frac{s^{2}}{\sqrt{2}}.
Igualando as duas expressões:
\sqrt{2}=\frac{s^{2}}{\sqrt{2}}.
Multiplicando ambos os lados por \sqrt{2}:
2=s^{2}.
Como s é comprimento (lado do cubo) ele é positivo, então
s=\sqrt{2}.

Passo 5

Calcular a área total do cubo usando s=\sqrt{2}.
  • Fórmula da área total: A_{\text{tot}}=6s^{2}.
  • Como s^{2}=2, temos
A_{\text{tot}}=6\cdot 2=12.

Passo 6

Verificação rápida (para ganhar confiança):
  • Primeiro termo: s=\sqrt{2}.
  • Segundo termo: s\sqrt{2}=(\sqrt{2})(\sqrt{2})=2.
  • Terceiro termo: s^{3}=(\sqrt{2})^{3}=2\sqrt{2}.
  • Razões: \dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2} e \dfrac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}. As razões coincidem, logo realmente formam uma PG.

Resposta

(e) 12

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