(Magalhães e Lima, pg 240) Numa de pesquisa de mercado, desejamos estimar a proporção de pessoas que compram o sabonete Bom Cheiro.
(a) Que tamanho de amostra devemos colher para que, com probabilidade 0.9. A proporção amostral não se desvie do verdadeiro valor por mais de 0.05? R: 271
(b) Se tivermos a informação adicional de que a aceitação do sabonete Bom Cheiro é no mínimo 0.8 , qual deve ser então o tamanho da amostra? R : 1 7 3

Passo 1

A questão pede para determinar o tamanho de amostra necessário para estimar a proporção de pessoas que compram o sabonete Bom Cheiro com determinada confiança e margem de erro. O conteúdo é intervalo de confiança para proporções, usando a aproximação normal, e vamos precisar da fórmula do erro máximo (margem de erro) de uma proporção.

Passo 2

Para construir um intervalo de confiança de nível 0.9 para uma proporção, usamos a aproximação normal. A margem de erro E é dada por
E = zalpha/2raizp(1-p)n
onde zalpha/2 é o quantil da normal padrão, p é a proporção verdadeira (ou estimativa) e n o tamanho da amostra. Para confiança de 90%, temos alpha=0.1, alpha/2=0.05 e z0.05=1.645.

Passo 3

Para o item (a), não sabemos p a priori. Nesse caso, usa-se o valor que maximiza p(1-p), que é p=0.5 e p(1-p)=0.25. Queremos E<=0.05, então:
0.05 = 1.645raiz0.25n
Isolando n:
n = (1.645)^2 cdot 0.25(0.05)^2 approx 2.706times0.250.0025 = 0.67650.0025 = 270.6
Arredondando para cima, obtemos n=271.

Passo 4

Para o item (b), agora sabemos que a aceitação é no mínimo p=0.8. Então p(1-p)=0.8times0.2=0.16. Mantendo E=0.05 e z0.05=1.645, temos:
0.05 = 1.645raiz0.16n
Logo:
n = (1.645)^2 cdot 0.16(0.05)^2 approx 2.706times0.160.0025 = 0.432960.0025 = 173.184
Arredondando para cima, obtemos n=173 (conforme resposta indicada).

Resposta

(a) 271
(b) 173

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