Um mágico se apresenta usando um paletó cintilante e uma calça colorida e não repete em suas apresentações o mesmo conjunto de calça e paletó. Para poder se apresentar em 500 espetáculos, qual o menor número de peças de roupa que pode ter seu guardaroupa?

Passo 1

O enunciado diz que o mágico tem x paletós e y calças e nunca repete um mesmo par paletó–calça. Em 500 apresentações ele precisa de 500 combinações diferentes, então devemos ter
xcdot y >= 500
O problema pede o menor número total de peças, ou seja, minimizar
x + y
sujeito a x,yinN e xy>=500.

Passo 2

Para minimizar a soma x+y dado que o produto xy é pelo menos 500, faz sentido escolher x e y o mais “equilibrados” possível, pois pelo Desigualdade Aritmético–Geométrica temos
x+y2>=raizxy>=raiz500approx22,36

Passo 3

Logo a soma x+y deve ser pelo menos 2raiz500approx44,72. Como x+y é inteiro, tentamos x+y=44 e x+y=45.
Para x+y=44, o produto máximo ocorre quando x e y são o mais próximos possível: 22cdot22=484<500. Logo não basta.

Passo 4

Para x+y=45, podemos escolher por exemplo 20 e 25, obtendo
20cdot25=500>=500
e soma 20+25=45. Qualquer outro par que some 45 e fique mais “desequilibrado” dará produto ainda maior ou igual.

Resposta

O menor número de peças que o mágico precisa é 45.

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