Um mágico se apresenta usando um paletó cintilante e uma calça colorida e não repete em suas apresentações o mesmo conjunto de calça e paletó. Para poder se apresentar em 500 espetáculos, qual o menor número de peças de roupa que pode ter seu guardaroupa?
Passo 1
O enunciado diz que o mágico tem
paletós e
calças e nunca repete um mesmo par paletó–calça. Em 500 apresentações ele precisa de 500 combinações diferentes, então devemos ter
O problema pede o menor número total de peças, ou seja, minimizar
sujeito a
e
.
Passo 2
Para minimizar a soma
dado que o produto
é pelo menos 500, faz sentido escolher
e
o mais “equilibrados” possível, pois pelo Desigualdade Aritmético–Geométrica temos
Passo 3
Logo a soma
deve ser pelo menos
. Como
é inteiro, tentamos
e
.
Para
, o produto máximo ocorre quando
e
são o mais próximos possível:
. Logo não basta.
Passo 4
Para
, podemos escolher por exemplo
e
, obtendo
e soma
. Qualquer outro par que some 45 e fique mais “desequilibrado” dará produto ainda maior ou igual.
Resposta
O menor número de peças que o mágico precisa é
.