Prove que se a1, a2, ldots, an são números positivos e
b1, b2, ldots, bn
é uma reordenação de a1, a2, ldots, an então b1a1+b2a2+cdots+bnan >= n.

Passo 1

O enunciado diz que a1,a2,dots,an são números positivos e que b1,b2,dots,bn é uma reordenação de (a1,dots,an). Queremos provar que
b1a1+b2a2+cdots+bnan>= n
Para isso vamos usar a desigualdade entre a média aritmética e a média geométrica (AM–GM) aplicada aos termos positivos biai.

Passo 2

Como (b1,dots,bn) é apenas uma permutação de (a1,dots,an), vale
prodi=1^nbi ;=;prodi=1^nai
Logo o produto dos quocientes é
prodi=1^nbiai =prodi=1^nbiprodi=1^nai =1

Passo 3

Aplique AM–GM aos n números positivos b1a1,dots,bnan:
1nsumi=1^nbiai ;>=; raiz[n]prodi=1^nbiai ;=;1
Multiplicando ambos os lados por n obtemos
b1a1+b2a2+cdots+bnan ;>=;n

Resposta

b1a1+b2a2+cdots+bnan;>=;n

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