Prove que a média quadrática de n números positivos
x1, x2, ldots, xn
é sempre maior que ou igual a sua média aritmética e só é igual quando todos os números são iguais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados n números positivos
x1,x2,dots,xn,
a sua média quadrática
RM = raiz1nsumi=1^nxi^2
é sempre maior ou igual à sua média aritmética
AM = 1nsumi=1^nxi,
e que a igualdade ocorre se, e somente se, todos os xi forem iguais. Vamos usar a ideia de variância não negativa para provar isso.

Passo 2

Definimos a média aritmética
bar x = AM = 1nsumi=1^nxi
e observamos que a variância dos xi é
1nsumi=1^nl(xi-bar xr)^2
Como todo quadrado é não negativo, temos
1nsumi=1^nl(xi-bar xr)^2>=0

Passo 3

Expandindo a soma de quadrados:
1nsumi=1^nl(xi-bar xr)^2 = 1nsumi=1^nl(xi^2-2bar x,xi+bar x^2r)
Como sumi=1^nxi=nbar x e sumi=1^nbar x^2=nbar x^2, isso vira
1nsumi=1^nxi^2 -2bar xcdot1nsumi=1^nxi +1nsumi=1^nbar x^2 =1nsumi=1^nxi^2-bar x^2>=0
Logo
1nsumi=1^nxi^2>=bar x^2

Passo 4

Como 1nsum xi^2 e bar x^2 são não negativos, podemos tirar raiz quadrada e obter
raiz1nsumi=1^nxi^2;>=;bar x,
isto é,
RM>=AM
A igualdade ocorre exatamente quando
1nsumi=1^nl(xi-bar xr)^2=0,
ou seja, quando xi-bar x=0 para todo i, isto é, quando todos os xi são iguais.

Resposta

raiz1nsumi=1^nxi^2 ;>=; 1nsumi=1^nxi,
com igualdade se, e somente se, x1=x2=cdots=xn.

Exercícios relacionados