Prove que a média quadrática de
números positivos
é sempre maior que ou igual a sua média aritmética e só é igual quando todos os números são iguais.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados
números positivos
a sua média quadrática
é sempre maior ou igual à sua média aritmética
e que a igualdade ocorre se, e somente se, todos os
xi forem iguais. Vamos usar a ideia de variância não negativa para provar isso.
Passo 2
Definimos a média aritmética
e observamos que a variância dos
xi é
Como todo quadrado é não negativo, temos
Passo 3
Expandindo a soma de quadrados:
Como
sumi=1^nxi=nbar x e
sumi=1^nbar x^2=nbar x^2 , isso vira
Logo
Passo 4
Como
1nsum xi^2 e
bar x^2 são não negativos, podemos tirar raiz quadrada e obter
isto é,
A igualdade ocorre exatamente quando
ou seja, quando
xi-bar x=0 para todo
i , isto é, quando todos os
xi são iguais.
Resposta
com igualdade se, e somente se,
x1=x2=cdots=xn .