Se x, y e z são números positivos tais que x y+y z+z x >= 1, qual é o conjunto de valores de x+y+z?

Passo 1

O enunciado diz que x,y,z>0 e que
x y + y z + z x >= 1
e pede o conjunto de valores possíveis para a soma
S = x + y + z
O que precisamos usar é uma desigualdade que relacione S com xy+yz+zx.

Passo 2

Usamos a identidade
(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2 + 2,(x y + y z + z x)
e o fato de que, para quaisquer reais,
x^2+y^2+z^2 >= x y + y z + z x
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(x+y+z)^2 ;>=;(x y + y z + z x) + 2,(x y + y z + z x) =3,(x y + y z + z x);>=;3cdot1 =3
Isto implica
S = x+y+z ;>=;raiz3

Passo 3

Para ver que S=raiz3 é atingido, basta escolher
x=y=z=1raiz3,
pois então
x y + y z + z x = 3cdot1raiz3cdot1raiz3=1 e x+y+z=3cdot1raiz3=raiz3
Por outro lado, não há limite superior para S: por exemplo, tome
xtoinfty, y=1x, zto0^+,
de modo que x y=1 e y z+z xto0, mantendo x y+y z+z x>=1 mas fazendo x+y+ztoinfty.

Resposta

O conjunto de valores de x+y+z é
l[raiz3,inftyr)

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