Se
e
são números positivos tais que
, qual é o conjunto de valores de
?
Passo 1
O enunciado pede o conjunto de valores que a soma
pode assumir, sabendo que
e que o produto
. O conteúdo que vamos usar é a desigualdade AM–GM para três termos e um argumento de limite para mostrar que não há limite superior.
Passo 2
Pela desigualdade AM–GM em três termos positivos temos
Como
segue
ou seja
Passo 3
A igualdade em AM–GM acontece se, e só se,
. Isso implica
. Como
, temos
e então
Logo o valor mínimo de
é
, alcançado em
.
Passo 4
Para ver que não há limite superior, escolha por exemplo
com
. Então
Ao fazermos
, o termo
domina e
. Assim não existe teto finito.