Se x, y e z são números positivos tais que x y z=8, qual é o conjunto de valores de x y+y z+z x?

Passo 1

O enunciado pede o conjunto de valores que a soma xy+yz+zx pode assumir, sabendo que x,y,z>0 e que o produto xyz=8. O conteúdo que vamos usar é a desigualdade AM–GM para três termos e um argumento de limite para mostrar que não há limite superior.

Passo 2

Pela desigualdade AM–GM em três termos positivos temos
xy + yz + zx3 ;>=; l((xy)(yz)(zx)r)^1/3
Como
(xy)(yz)(zx) = (xyz)^2 = 8^2 = 64,
segue
xy + yz + zx3 ;>=; 64^1/3 = 4,
ou seja
xy + yz + zx ;>=; 12

Passo 3

A igualdade em AM–GM acontece se, e só se, xy=yz=zx. Isso implica x=y=z. Como xyz=8, temos x=y=z=2 e então
xy+yz+zx = 3cdot2cdot2 = 12
Logo o valor mínimo de xy+yz+zx é 12, alcançado em (2,2,2).

Passo 4

Para ver que não há limite superior, escolha por exemplo
x = t, y = t, z = 8t^2,
com t>0. Então
xy + yz + zx = t^2 + tcdot8t^2 + tcdot8t^2 = t^2 + 16t
Ao fazermos ttoinfty, o termo t^2 domina e xy+yz+zxtoinfty. Assim não existe teto finito.

Resposta

[12,infty)

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