Em mamíferos, o produto do volume do coração vezes sua frequência cardíaca é proporcional à taxa metabólica. Se o fator de escala entre dois mamíferos é L=l2 / l1, qual é a relação entre as frequências cardíacas? V.
Sendo o volume do coração N, a frequência cardíaca R, e a taxa metabólica V N sim R, , temos
V1 N1V2 N2=R1R2=(m1m2)^a,
logo,
a=0,75
com l1^3 N1l2^3 N2=(l1l2)^3 a . Portanto,
N2N1=(l2l1)^3 a-3=L^-0,75
de onde temos
com L=l2 / l1
.

Passo 1

O enunciado pede a relação entre as frequências cardíacas de dois mamíferos de comprimentos característicos l₁ e l₂, sabendo que o volume do coração V escala como l³ e que o produto V·N (frequência cardíaca) é proporcional à taxa metabólica R. Vamos usar escalamento geométrico e a lei de potência R~mᵃ com a=0,75.

Passo 2

Começamos da proporcionalidade entre volume, frequência e taxa metabólica:
V1 N1 sim R1
V2 N2 sim R2
Logo,
V1 N1V2 N2 ,=, R1R2

Passo 3

Sabendo que o volume do coração escala como l³ e que a massa m escala também como l³, temos:
V1V2 ,=, l(l1l2r)^3
R1R2 ,=, l(m1m2r)^a ,=, l(l1^3l2^3r)^a ,=, l(l1l2r)^3a

Passo 4

Substituindo essas expressões na razão inicial:
l(l1l2r)^3 cdot N1N2 ,=, l(l1l2r)^3a
Isolando a razão das frequências:
N1N2 ,=, l(l1l2r)^3a-3
Invertendo para obter N₂/N₁:
N2N1 ,=, l(l2l1r)^3a-3

Passo 5

Finalmente, usando a=0,75, calculamos o expoente: 3·0,75−3=2,25−3=−0,75, chegando a:
N2N1 ,=, l(l2l1r)^-0,75

Resposta

N2N1 = L^-0,75

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