Verificar, usando a definição de superfície regular, que o plano passando pelos pontos P_{0}=\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right), P_{1}=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right), P_{2}=\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right), supostos não alinhados, é uma superfície regular.

Passo 1

O que o enunciado pede e as informações dadas.
  • Pede: verificar, usando a definição de superfície regular, que o plano que passa pelos pontos P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0}), P_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1}), P_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2}), com esses três pontos supostos não alinhados, é uma superfície regular.
  • Dados relevantes:
    • Três pontos P_{0},P_{1},P_{2} no espaço \mathbb{R}^{3}.
    • Hipótese crucial: esses pontos não são alinhados (ou seja, não estão na mesma reta).

Passo 2

Lembrando (didaticamente) a definição de superfície regular que vamos usar.
  • Definição (versão usada aqui): uma subconjunto S\subset\mathbb{R}^{3} é uma superfície regular se, para cada ponto p\in S, existe uma vizinhança V de p em S e uma parametrização X:U\to V tal que
    1. U é aberto em \mathbb{R}^{2},
    2. X é diferenciável (suavemente, por exemplo C^{\infty}),
    3. X é um homeomorfismo de U sobre V (continua, bijetiva e com inversa contínua),
    4. X é imersão: as derivadas parciais \partial_{u}X e \partial_{v}X são linearmente independentes em cada ponto de U (equivalente a \partial_{u}X\times\partial_{v}X\neq 0).
  • Em palavras: precisamos dar uma parametrização local (ou global) do plano que seja suave e cuja matriz jacobiana tenha posto 2.

Passo 3

Construção natural da parametrização do plano (motivação).
  • Defina os vetores direcionais a partir dos pontos dados: \mathbf{a}=P_{1}-P_{0}=(x_{1}-x_{0},\,y_{1}-y_{0},\,z_{1}-z_{0}),
\mathbf{b}=P_{2}-P_{0}=(x_{2}-x_{0},\,y_{2}-y_{0},\,z_{2}-z_{0}).
  • Como P_{0},P_{1},P_{2} não são alinhados, \mathbf{a} e \mathbf{b} não são múltiplos um do outro; em outras palavras, \mathbf{a} e \mathbf{b} são linearmente independentes.
  • Parametrização natural do plano que passa por P_{0} com direções \mathbf{a},\mathbf{b}:
    X: \mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}^{3},\qquad X(u,v)=P_{0}+u\,\mathbf{a}+v\,\mathbf{b}.
    Esta é a escolha óbvia: variar (u,v) percorre todas as combinações afins dos vetores e, portanto, o plano.

Passo 4

Verificar que X é diferenciável (suave).
  • A função X(u,v)=P_{0}+u\,\mathbf{a}+v\,\mathbf{b} é afim em (u,v), isto é, cada componente é uma função linear de (u,v). Funções lineares são C^{\infty}.
  • Portanto X é diferenciável (na verdade C^{\infty}) em todo \mathbb{R}^{2}.

Passo 5

Calcular as derivadas parciais e mostrar que X é imersão (posto da diferencial é 2).
  • Derivadas parciais: \partial_{u}X(u,v)=\mathbf{a},\qquad \partial_{v}X(u,v)=\mathbf{b}.Note que as derivadas não dependem de (u,v) porque X é afim.
  • A condição de imersão pede que \partial_{u}X e \partial_{v}X sejam linearmente independentes. Isso é exatamente a afirmação de que \mathbf{a} e \mathbf{b} são linearmente independentes.
  • Como assumimos que P_{0},P_{1},P_{2} não são alinhados, \mathbf{a} e \mathbf{b} não são múltiplos e, portanto, são linearmente independentes.
  • Uma forma prática de ver isso é calcular o produto vetorial: \partial_{u}X\times\partial_{v}X=\mathbf{a}\times\mathbf{b}.Se \mathbf{a} e \mathbf{b} são linearmente independentes então \mathbf{a}\times\mathbf{b}\neq\mathbf{0}. Assim \partial_{u}X\times\partial_{v}X\neq\mathbf{0}, e o posto da diferencial é 2. Conclusão: X é uma imersão em todo ponto.

Passo 6

Mostrar que X é bijetiva sobre o plano e que a inversa é contínua — ou seja, X é um homeomorfismo entre \mathbb{R}^{2} e o plano.
  • Imagem de X: por construção, a imagem de X é exatamente o plano afim que passa por P_{0} e é gerado por \mathbf{a},\mathbf{b}. Denotemos esse plano por S. Ou seja, S=\{P_{0}+u\,\mathbf{a}+v\,\mathbf{b}:\\ (u,v)\in\mathbb{R}^{2}\}.
  • Injetividade: suponha que X(u_{1},v_{1})=X(u_{2},v_{2}). Então (u_{1}-u_{2})\mathbf{a}+(v_{1}-v_{2})\mathbf{b}=\mathbf{0}.Como \mathbf{a} e \mathbf{b} são linearmente independentes, os coeficientes devem ser nulos: u_{1}-u_{2}=0 e v_{1}-v_{2}=0. Logo (u_{1},v_{1})=(u_{2},v_{2}). Portanto X é injetiva.
  • Sobrejetividade sobre S: por definição de S, para todo ponto q\in S existe (u,v) tal que q=X(u,v). Logo X é sobrejetiva para S.
  • Inversa contínua: como X é uma bijeção linear afim entre o espaço \mathbb{R}^{2} e o plano S (quando \mathbb{R}^{2} e S são vistos como espaços vetoriais afins), a inversa é dada por uma aplicação linear (mais precisamente afim) que expressa (u,v) em função das coordenadas de q\in S. Em termos de álgebra linear: a matriz que tem colunas \mathbf{a} e \mathbf{b} tem posto 2 e admite uma inversa à esquerda, daí a solução (u,v) de P_{0}+u\mathbf{a}+v\mathbf{b}=q depende continuamente (na verdade linearmente) de q. Portanto a inversa de X é contínua. Assim X é homeomorfismo de \mathbb{R}^{2} sobre S.
  • Observação intuitiva: geometricamente, cada ponto do plano tem uma única coordenada afim (u,v) na base \{\mathbf{a},\mathbf{b}\}, e essa associação é contínua.

Passo 7

Verificar todas as condições da definição e concluir.
  • Recapitulando:
    1. U=\mathbb{R}^{2} é aberto em \mathbb{R}^{2}.
    2. X é C^{\infty}.
    3. X é bijetiva de U sobre S e sua inversa é contínua (homeomorfismo).
    4. \partial_{u}X e \partial_{v}X são linearmente independentes ( \mathbf{a}\times\mathbf{b}\neq\mathbf{0}), logo X é imersão.
  • Portanto X é uma parametrização regular do plano S que contém P_{0},P_{1},P_{2}. Como isso vale para todo ponto do plano (a parametrização é global), o plano é uma superfície regular.

Passo 8

Um pequeno exemplo numérico (para fixar e te dar confiança).
  • Tome P_{0}=(0,0,0), P_{1}=(1,0,0), P_{2}=(0,1,0). Então \mathbf{a}=(1,0,0), \mathbf{b}=(0,1,0).
  • Parametrização: X(u,v)=(u,v,0).As derivadas são \partial_{u}X=(1,0,0), \partial_{v}X=(0,1,0) e o produto vetorial é (0,0,1)\neq\mathbf{0}. Inversa é X^{-1}(x,y,0)=(x,y). Tudo se encaixa e o plano z=0 é superfície regular — caso particular do argumento geral.

Resposta

O plano que passa por P_{0},P_{1},P_{2} (com os pontos não alinhados) é uma superfície regular; uma parametrização regular global é
X(u,v)=P_{0}+u\,(P_{1}-P_{0})+v\,(P_{2}-P_{0}),
pois X é C^{\infty}, bijetiva sobre o plano, sua inversa é contínua, e \partial_{u}X\times\partial_{v}X=(P_{1}-P_{0})\times(P_{2}-P_{0})\neq\mathbf{0} (pela hipótese de não colinearidade).

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