Verificar, usando a definição de superfície regular, que o plano passando pelos pontos
, supostos não alinhados, é uma superfície regular.
Passo 1
O que o enunciado pede e as informações dadas.
- Pede: verificar, usando a definição de superfície regular, que o plano que passa pelos pontos
, , , com esses três pontos supostos não alinhados, é uma superfície regular. - Dados relevantes:
- Três pontos
no espaço . - Hipótese crucial: esses pontos não são alinhados (ou seja, não estão na mesma reta).
- Três pontos
Passo 2
Lembrando (didaticamente) a definição de superfície regular que vamos usar.
-
Definição (versão usada aqui): uma subconjunto
é uma superfície regular se, para cada ponto , existe uma vizinhança de em e uma parametrização tal que -
é aberto em , -
é diferenciável (suavemente, por exemplo ), -
é um homeomorfismo de sobre (continua, bijetiva e com inversa contínua), -
é imersão: as derivadas parciais e são linearmente independentes em cada ponto de (equivalente a ).
-
-
Em palavras: precisamos dar uma parametrização local (ou global) do plano que seja suave e cuja matriz jacobiana tenha posto
.
Passo 3
Construção natural da parametrização do plano (motivação).
- Defina os vetores direcionais a partir dos pontos dados:
-
Como
não são alinhados, e não são múltiplos um do outro; em outras palavras, e são linearmente independentes. -
Parametrização natural do plano que passa por
com direções : Esta é a escolha óbvia: variarpercorre todas as combinações afins dos vetores e, portanto, o plano.
Passo 4
Verificar que
é diferenciável (suave).
- A função
é afim em , isto é, cada componente é uma função linear de . Funções lineares são . - Portanto
é diferenciável (na verdade ) em todo .
Passo 5
Calcular as derivadas parciais e mostrar que
é imersão (posto da diferencial é
).
- Derivadas parciais:
Note que as derivadas não dependem de porque é afim. - A condição de imersão pede que
e sejam linearmente independentes. Isso é exatamente a afirmação de que e são linearmente independentes. - Como assumimos que
não são alinhados, e não são múltiplos e, portanto, são linearmente independentes. - Uma forma prática de ver isso é calcular o produto vetorial:
Se e são linearmente independentes então . Assim , e o posto da diferencial é . Conclusão: é uma imersão em todo ponto.
Passo 6
Mostrar que
é bijetiva sobre o plano e que a inversa é contínua — ou seja,
é um homeomorfismo entre
e o plano.
- Imagem de
: por construção, a imagem de é exatamente o plano afim que passa por e é gerado por . Denotemos esse plano por . Ou seja, - Injetividade: suponha que
. Então Como e são linearmente independentes, os coeficientes devem ser nulos: e . Logo . Portanto é injetiva. - Sobrejetividade sobre
: por definição de , para todo ponto existe tal que . Logo é sobrejetiva para . - Inversa contínua: como
é uma bijeção linear afim entre o espaço e o plano (quando e são vistos como espaços vetoriais afins), a inversa é dada por uma aplicação linear (mais precisamente afim) que expressa em função das coordenadas de . Em termos de álgebra linear: a matriz que tem colunas e tem posto e admite uma inversa à esquerda, daí a solução de depende continuamente (na verdade linearmente) de . Portanto a inversa de é contínua. Assim é homeomorfismo de sobre . - Observação intuitiva: geometricamente, cada ponto do plano tem uma única coordenada afim
na base , e essa associação é contínua.
Passo 7
Verificar todas as condições da definição e concluir.
- Recapitulando:
-
é aberto em . -
é . -
é bijetiva de sobre e sua inversa é contínua (homeomorfismo). -
e são linearmente independentes ( ), logo é imersão.
-
- Portanto
é uma parametrização regular do plano que contém . Como isso vale para todo ponto do plano (a parametrização é global), o plano é uma superfície regular.
Passo 8
Um pequeno exemplo numérico (para fixar e te dar confiança).
- Tome
, , . Então , . - Parametrização:
As derivadas são , e o produto vetorial é . Inversa é . Tudo se encaixa e o plano é superfície regular — caso particular do argumento geral.
Resposta
O plano que passa por
(com os pontos não alinhados) é uma superfície regular; uma parametrização regular global é
pois
é
, bijetiva sobre o plano, sua inversa é contínua, e
(pela hipótese de não colinearidade).