Sejam
um espaço vetorial com produto interno e
. Defina a função
por
.
Mostre que
.
Mostre que
Passo 1
O enunciado define uma aplicação
onde
é um espaço vetorial com produto interno e
. Queremos mostrar que
, ou seja, que
é linear e contínua (equivalente a ser limitada).
Passo 2
Verificação da linearidade. Tomemos
e escalares
. Então
Logo
é linear.
Passo 3
Verificação de que
é limitada (e portanto contínua). Usamos a desigualdade de Cauchy–Schwarz:
Assim, para todo
,
Logo
Isso mostra que
é limitada e, em espaços com norma, limitada implica contínua.
Resposta
Portanto
é linear e limitada, ou seja