Sejam V um espaço vetorial com produto interno e v, w in V. Defina a função T: U longrightarrow V por T(u)=lang<= u, vrang<= w, forall u in V.
Mostre que T in L(V, V).

Passo 1

O enunciado define uma aplicação
Tcolon V to V, T(u)=lang<= u,vrang<=,w
onde V é um espaço vetorial com produto interno e v,win V. Queremos mostrar que Tin L(V,V), ou seja, que T é linear e contínua (equivalente a ser limitada).

Passo 2

Verificação da linearidade. Tomemos u1,u2in V e escalares alpha,beta. Então
T(alpha u1 + beta u2) = lang<= alpha u1 + beta u2,,vrang<=,w = l(alphalang<= u1,vrang<= + betalang<= u2,vrang<=r),w = alpha,lang<= u1,vrang<=,w + beta,lang<= u2,vrang<=,w = alpha,T(u1) + beta,T(u2)
Logo T é linear.

Passo 3

Verificação de que T é limitada (e portanto contínua). Usamos a desigualdade de Cauchy–Schwarz:
|lang<= u,vrang<=| <= |u|;|v|
Assim, para todo uin V,
|T(u)| = |lang<= u,vrang<=,w| = |lang<= u,vrang<=|;|w| <= |u|;|v|;|w|
Logo
|T(u)| <= M,|u| com M=|v|;|w|
Isso mostra que T é limitada e, em espaços com norma, limitada implica contínua.

Resposta

Portanto T é linear e limitada, ou seja
Tin L(V,V)

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