Uma das maneiras de resolver uma equação diferencial é por separação de variáveis. Com base nisso, determine a solução geral da equação diferencial a seguir:
dy\dx= (x+3)³

Passo 1

Beleza, a gente tem uma equação diferencial que diz que a derivada de $ y $ em relação a $ x $ é igual a $ (x + 3)^3 $. Isso está dentro do conteúdo de equações diferenciais, especificamente usando o método de separação de variáveis. Vamos precisar integrar $ (x + 3)^3 $ para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que temos:
dydx = (x + 3)^3
Nosso objetivo é encontrar uma função $ y(x) $ que, quando derivada, dá $ (x + 3)^3 $.

Passo 3

Para resolver, vamos separar as variáveis. Isso significa que vamos isolar $ dy $ de um lado e $ dx $ do outro:
dy
Agora, para encontrar $ y $, vamos integrar ambos os lados dessa equação.

Passo 4

Vamos integrar o lado direito:
integral dy = integral (x + 3)^3 , dx
A integral de $ dy $ é simplesmente $ y $. Agora, precisamos calcular a integral de $ (x + 3)^3 $ em relação a $ x $.

Passo 5

Vamos usar a regra da potência para integrar $ (x + 3)^3 $:
(x + 3)^3
Onde $ C $ é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = (x + 3)^44 + C

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