Uma das maneiras de resolver uma equação diferencial é por separação de variáveis. Com base nisso, determine a solução geral da equação diferencial a seguir:
dy\dx= (x+3)³
dy\dx= (x+3)³
Passo 1
Beleza, a gente tem uma equação diferencial que diz que a derivada de $ y $ em relação a $ x $ é igual a $ (x + 3)^3 $. Isso está dentro do conteúdo de equações diferenciais, especificamente usando o método de separação de variáveis. Vamos precisar integrar $ (x + 3)^3 $ para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação que temos:
Nosso objetivo é encontrar uma função $ y(x) $ que, quando derivada, dá $ (x + 3)^3 $.
Passo 3
Para resolver, vamos separar as variáveis. Isso significa que vamos isolar $ dy $ de um lado e $ dx $ do outro:
Agora, para encontrar $ y $, vamos integrar ambos os lados dessa equação.
Passo 4
Vamos integrar o lado direito:
A integral de $ dy $ é simplesmente $ y $. Agora, precisamos calcular a integral de $ (x + 3)^3 $ em relação a $ x $.
Passo 5
Vamos usar a regra da potência para integrar $ (x + 3)^3 $:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: