Uma mangueira de jardim com diâmetro de 16 mm, pode encher um balde de 10 litros em 20 segundos.
(b) Um bocal com diâmetro menor que a mangueira é conectado à extremidade da mangueira para aumentar a velocidade do fluxo para fora da mangueira. Qual deve ser o diâmetro do bico com seção transversal circular necessário para que a água sai da mangueira com uma velocidade 4 vezes maior que a velocidade dentro da mangueira?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma mangueira de jardim com diâmetro de 16 mm que enche um balde de 10 litros em 20 segundos. Agora, queremos conectar um bico menor nessa mangueira para aumentar a velocidade da água que sai. Especificamente, a gente quer que a água saia 4 vezes mais rápido do que na mangueira. Para resolver isso, vamos usar conceitos de área de seção transversal e velocidade do fluxo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre área, velocidade e fluxo de água. A quantidade de água que sai da mangueira por segundo (fluxo) é igual à área da seção transversal da mangueira multiplicada pela velocidade da água:
Q = A times v
Onde:
  • $ Q $ é o fluxo de água
  • $ A $ é a área da seção transversal
  • $ v $ é a velocidade da água
No bico, queremos que a velocidade seja 4 vezes maior, ou seja, $ v_{bico} = 4v_{mangueira} $.

Passo 3

Sabemos que o fluxo de água deve se manter constante, assumindo que não há perdas. Então:
Amangueira times vmangueira = Abico times vbico
Substituindo $ v_{bico} = 4v_{mangueira} $:
vbico = 4vmangueira
Simplificando $ v $ dos dois lados:
Amangueira times v = Abico times 4v

Passo 4

Agora, vamos relacionar as áreas das seções transversais aos diâmetros. A área de um círculo é dada por:
A = pi ( d2 )^2 = pi d^24
Onde $ d $ é o diâmetro.
Então:
d
Amangueira = pi dmangueira^24

Passo 5

Voltando à equação $ A_{mangueira} = 4A_{bico} $:
Amangueira = 4Abico
Simplificando $ \pi $ e 4:
pi dmangueira^24 = 4 times pi dbico^24

Passo 6

Agora, isolando $ d_{bico} $:
dbico
dbico^2 = dmangueira^24

Passo 7

Sabemos que o diâmetro da mangueira é 16 mm. Então:
dbico = 16 mm2 = 8 mm

Resposta

O diâmetro do bico necessário é de 8 mm.

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