Resolva o problema de valor inicial
y^{\prime}=\frac{1+3 x^{2}}{3 y^{2}-6 y}, \quad y(0)=1
e determine o intervalo de validade da solução.

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial
y' = \frac{1 + 3x^2}{3y^2 - 6y},\quad y(0)=1.
O conteúdo é equação diferencial ordinária separável: vamos separar as variáveis x e y e integrar.

Passo 2

Separe as variáveis:
(3y^2 - 6y)\,dy = (1 + 3x^2)\,dx.
Aqui isolamos todos os termos em y junto de dy e todos os termos em x junto de dx.

Passo 3

Integre os dois lados:
\int (3y^2 - 6y)\,dy = \int (1 + 3x^2)\,dx.
Calcule cada integral:
\int (3y^2 - 6y)\,dy = y^3 - 3y^2 + C_1,\qquad \int (1 + 3x^2)\,dx = x + x^3 + C_2.
Igualando (absorvendo C_2 - C_1 num único C), obtemos
y^3 - 3y^2 = x + x^3 + C.

Passo 4

Aplique a condição inicial y(0)=1:
1^3 - 3\cdot1^2 = 0 + 0 + C \quad\Longrightarrow\quad -2 = C.
Logo a solução fica dada implicitamente por
y^3 - 3y^2 = x + x^3 - 2.

Passo 5

Para determinar o intervalo de validade, note que a equação original tem denominador zero quando
3y^2 - 6y = 3y(y-2) = 0 \;\Longrightarrow\; y = 0\text{ ou }y=2.
A solução sai de y(0)=1 e só deixa ser regular ao atingir y=0 ou y=2.

Passo 6

Encontre em quais x a curva implícita atinge y=0 ou y=2:
— Para y=0:
0^3 - 3\cdot0^2 = x + x^3 - 2 \;\Longrightarrow\; x^3 + x - 2 = 0 \;\Longrightarrow\; x = 1.
— Para y=2:
2^3 - 3\cdot2^2 = x + x^3 - 2 \;\Longrightarrow\; 8 -12 = x^3 + x -2 \;\Longrightarrow\; -4 = x^3 + x -2 \;\Longrightarrow\; x = -1.
Portanto a solução existe e é única para -1 < x < 1.

Resposta

A solução está dada implicitamente por
\boxed{y^3 - 3y^2 = x + x^3 - 2}
e vale no intervalo de validade
\boxed{-1 < x < 1}.

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