Resolva o problema de valor inicial
e determine o intervalo de validade da solução.
Passo 1
O enunciado pede resolver o problema de valor inicial
O conteúdo é equação diferencial ordinária separável: vamos separar as variáveis
e
e integrar.
Passo 2
Separe as variáveis:
Aqui isolamos todos os termos em
junto de
e todos os termos em
junto de
.
Passo 3
Integre os dois lados:
Calcule cada integral:
Igualando (absorvendo
num único
), obtemos
Passo 4
Aplique a condição inicial
:
Logo a solução fica dada implicitamente por
Passo 5
Para determinar o intervalo de validade, note que a equação original tem denominador zero quando
A solução sai de
e só deixa ser regular ao atingir
ou
.
Passo 6
Encontre em quais
a curva implícita atinge
ou
:
— Para :
— Para
— Para
:
Portanto a solução existe e é única para
.
Resposta
A solução está dada implicitamente por
e vale no intervalo de validade