1. Manipule a equacao t3y’ -2 t 2 y=t 6 sen(2 t)-t 5+4 t 6 para aplicar o metodo de separacao de variaveis.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de primeira ordem
t^3,y' ;-;2,t^2,y ;=; t^6sin(2t);-;t^5;+;4,t^6
e pede para manipulá-la de modo a aplicar o método de separação de variáveis. Vamos usar a técnica de redução de ordem por substituição, visando transformar a equação num forma du/dt=f(t).

Passo 2

Notamos que o lado esquerdo é da forma
t^3,y' ;-;2,t^2,y = t^2,(t,y' -2,y)
e que t,y' -2,y lembra a derivada de yt^2. Por isso, fazemos a substituição
u = yt^2

Passo 3

Calculamos y' em função de u:
y = t^2,u Longrightarrow y' = 2,t,u + t^2,u'

Passo 4

Substituindo em t^3,y' -2,t^2,y:
t^3,(2tu + t^2u') ;-;2,t^2,(t^2u) = 2,t^4u + t^5u' -2,t^4u = t^5,u'
Logo a equação vira
t^5,u' = t^6sin(2t) - t^5 +4,t^6
e, dividindo por t^5,
u' = tsin(2t) ;-;1 ;+;4,t

Passo 5

Reescrevendo como separação de variáveis, temos
dudt = tsin(2t) +4t -1 Longrightarrow du = l(tsin(2t) +4t -1r),dt,
que é uma equação separável em u e t.

Resposta

du = l(tsin(2t) +4t -1r),dt

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