Sejam
e
matrizes do tipo
. Verifique se as condições abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique (pode comprovar com exemplos numéricos).
Passo 1
O enunciado pede para verificar se, dado
uma matriz
e
o sub-bloco de ordem
obtido de
ao remover a
-ésima linha e a
-ésima coluna, vale sempre
O conteúdo aqui é o conceito de menor (ou submatriz) e determinante.
Passo 2
Vamos buscar um contraexemplo em
. Considere a matriz diagonal
Ela é fácil de trabalhar porque o determinante de uma matriz diagonal é o produto dos elementos da diagonal.
Passo 3
Calculemos primeiro o determinante de
A :
Passo 4
Agora removemos a primeira linha e a primeira coluna para obter
A11 , que é
Logo
Passo 5
Comparando
vemos que
Portanto a desigualdade proposta falha nesse exemplo.
Resposta
A afirmação é falsa. Como mostrado no exemplo acima, pode ocorrer
det(Aij)>det(A) .