Sejam A e B matrizes do tipo n times n. Verifique se as condições abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique (pode comprovar com exemplos numéricos).
det(Ai j)<det A

Passo 1

O enunciado pede para verificar se, dado A uma matriz ntimes n e Aij o sub-bloco de ordem (n-1)times(n-1) obtido de A ao remover a i-ésima linha e a j-ésima coluna, vale sempre
detl(Aijr) < det(A)
O conteúdo aqui é o conceito de menor (ou submatriz) e determinante.

Passo 2

Vamos buscar um contraexemplo em n=3. Considere a matriz diagonal
A = 0,5 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 4
Ela é fácil de trabalhar porque o determinante de uma matriz diagonal é o produto dos elementos da diagonal.

Passo 3

Calculemos primeiro o determinante de A:
det(A) = 0,5 times 2 times 4 = 4

Passo 4

Agora removemos a primeira linha e a primeira coluna para obter A11, que é
A11 = 2 & 0 0 & 4
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detl(A11r) = 2 times 4 = 8

Passo 5

Comparando
detl(A11r) = 8 e det(A) = 4,
vemos que
8 ;not<; 4
Portanto a desigualdade proposta falha nesse exemplo.

Resposta

A afirmação é falsa. Como mostrado no exemplo acima, pode ocorrer det(Aij)>det(A).

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