1. Rebites de alumínio são usados na construção de aviões e são confeccionados maiores do que os buracos e levados ao resfriamento por gelo seco \left(\mathrm{CO}_{2}\right) a -78^{\circ} \mathrm{C} antes de serem colocados nos buracos. Quando eles são deixados no lugar à temperatura de 23^{\circ} \mathrm{C} eles se ajustam perfeitamente. Se um rebite a -78^{\circ} \mathrm{C} está inserido em um buraco de 3,2 \mathrm{~mm} de diâmetro, qual será o diâmetro do rebite a 23^{\circ} \mathrm{C} ? Para o alumínio, \alpha=2,4 \times 10^{-5}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei os dados do enunciado):
  • Temperatura inicial do rebite: -78^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura final (quando está no lugar): 23^\circ\mathrm{C}.
  • Diâmetro do rebite à temperatura inicial (quando inserido no furo): 3,2\\ \mathrm{mm}.
  • Coeficiente de dilatação linear do alumínio: \alpha = 2{,}4\times10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
O que se pede:
  • Encontrar o diâmetro do rebite à temperatura 23^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e sem terror):
  • Para pequenas variações de temperatura, o aumento linear de uma dimensão L de um sólido é dado por
\Delta L = \alpha\,L_0\,\Delta T,
onde:
  • \Delta L é a variação da dimensão (m),
  • L_0 é a dimensão inicial (m),
  • \alpha é o coeficiente de dilatação linear (^\circ\mathrm{C}^{-1}),
  • \Delta T é a variação de temperatura (^\circ\mathrm{C}).
  • A dimensão final é então
L = L_0\,(1+\alpha\,\Delta T).
  • Observação essencial: o diâmetro se comporta como uma “comprimento” linear nesse sentido — para um material isotrópico e homogêneo (como o alumínio usado em rebites), a mesma fórmula vale para o diâmetro. Portanto podemos aplicar a fórmula com L_0=d_0 e L=d.

Passo 3

Calcular a variação de temperatura \Delta T:
\Delta T = T_{\text{final}} - T_{\text{inicial}} = 23 - (-78) = 101\\ ^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Calcular o fator de expansão \alpha\,\Delta T e 1+\alpha\,\Delta T:
\alpha\,\Delta T = \left(2{,}4\times10^{-5}\right)\times101 = 2{,}424\times10^{-3}.
1+\alpha\,\Delta T = 1 + 2{,}424\times10^{-3} = 1{,}002424.

Passo 5

Aplicar ao diâmetro inicial d_0=3{,}2\\ \mathrm{mm}:
d = d_0\,(1+\alpha\,\Delta T) = 3{,}2\times1{,}002424 = 3{,}2077568\\ \mathrm{mm}.
Arredondando de forma prática (e mostrando também a variação):
d \approx 3{,}208\\ \mathrm{mm}.
A variação absoluta é
\Delta d = d - d_0 = 3{,}2077568 - 3{,}2 = 0{,}0077568\\ \mathrm{mm} = 7{,}7568\\ \mu\mathrm{m}.

Passo 6

Interpretação curta e incentivo:
  • Ou seja, ao aquecer de -78^\circ\mathrm{C} para 23^\circ\mathrm{C} o rebite aumenta só cerca de 7{,}8\\ \mu\mathrm{m}. Parece pouco, mas é suficiente para que o rebite “encaixe” firmemente no furo quando aquece — é exatamente por isso que resfriam os rebites antes de inserir. Você está indo bem — focando nos passos e nas fórmulas certa hora a prova vai ficar mais tranquila!

Resposta

3{,}208\\ \mathrm{mm}

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