[Manual e Teórico] Seja f(x)=x^{3}-2 x+1. Para resolver f(x)=0 as seguintes iterações de Ponto-Fixo são propostas. Derive cada uma delas e compute p_{1}, p_{2}, p_{3} e p_{4} começando com p_{0}=\frac{1}{2}. Quais são convergentes e porque?
(b) x=\frac{2}{x}-\frac{1}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=x^{3}-2x+1
e propõe resolver f(x)=0 por Ponto–Fixo usando a forma
x=\frac{2}{x}-\frac{1}{x^{2}}.
Isso significa que definimos
\varphi(x)=\frac{2}{x}-\frac{1}{x^{2}},
e aplicamos a iteração
p_{n+1}=\varphi(p_{n}),\quad p_{0}=\frac{1}{2}.
Precisamos calcular p_{1},p_{2},p_{3},p_{4} e discutir convergência.

Passo 2

Escrevendo explicitamente a função de iteração e sua regra, temos
\varphi(x)=\frac{2}{x}-\frac{1}{x^{2}},
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p_{n+1}=\frac{2}{p_{n}}-\frac{1}{p_{n}^{2}}.

Passo 3

Calculemos as primeiras iterações partindo de p_{0}=\tfrac12:
p_{1} =\varphi\bigl(p_{0}\bigr) =\frac{2}{\tfrac12}-\frac{1}{(\tfrac12)^{2}} =4-4 =0.
Mas ao tentar
p_{2}=\varphi(p_{1})=\varphi(0)
vemos que \varphi(0) não está definida (divisão por zero). Portanto não é possível obter p_{2}, nem p_{3} ou p_{4}.

Passo 4

Para discutir convergência em torno da raiz real r=1 (pois 1^{3}-2\cdot1+1=0), observamos
\varphi'(x) =-\frac{2}{x^{2}}+\frac{2}{x^{3}} \quad\Longrightarrow\quad \varphi'(1)= -2+2=0.
Como \lvert\varphi'(1)\rvert<1, haveria atração local perto de x=1. No entanto, a iteração que escolhemos leva de p_{0}=\tfrac12 a p_{1}=0, ponto fora do domínio de \varphi. Logo, para este p_{0}, a sequência não se mantém no domínio e não converge.

Resposta

p_{1}=0, não é possível calcular p_{2},p_{3},p_{4} (divisão por zero). A iteração falha e não converge para p_{0}=\tfrac12.

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