[Manual e Teórico] Seja f(x)=x^{3}-2 x+1. Para resolver f(x)=0 as seguintes iterações de Ponto-Fixo são propostas. Derive cada uma delas e compute p_{1}, p_{2}, p_{3} e p_{4} começando com p_{0}=\frac{1}{2}. Quais são convergentes e porque?
(a) x=\frac{1}{2}\left(x^{3}+1\right)

Passo 1

O enunciado dá a equação
f(x)=x^{3}-2x+1=0
e propõe a iteração de Ponto-Fixo
x = \frac12\bigl(x^{3}+1\bigr).
O conteúdo aqui é reorganizar f(x)=0 em x=g(x), definir
p_{n+1}=g(p_{n}),\quad g(x)=\tfrac12(x^{3}+1),
e, a partir de p_{0}=\tfrac12, calcular p_{1},p_{2},p_{3},p_{4}. Depois, usar o critério de convergência de Banach (contracção) para decidir se a iteração converge.

Passo 2

Derivação de g(x) a partir de f(x)=0:
x^{3}-2x+1=0 \quad\Longrightarrow\quad 2x = x^{3}+1 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac12\bigl(x^{3}+1\bigr).
Logo a iteração é
p_{n+1} = g(p_{n}) = \frac12\bigl(p_{n}^{3}+1\bigr).

Passo 3

Cálculo de p_{1},p_{2},p_{3},p_{4} começando em p_{0}=\tfrac12:
p_{1} = \frac12\bigl((\tfrac12)^{3}+1\bigr) = \frac12\bigl(\tfrac18+1\bigr) = \frac{1{,}125}{2} = 0{,}5625,
p_{2} = \frac12\bigl((0{,}5625)^{3}+1\bigr) \approx \frac12\bigl(0{,}17798+1\bigr) = 0{,}5890,
p_{3} = \frac12\bigl((0{,}5890)^{3}+1\bigr) \approx \frac12\bigl(0{,}2043+1\bigr) = 0{,}6022,
p_{4} = \frac12\bigl((0{,}6022)^{3}+1\bigr) \approx \frac12\bigl(0{,}2186+1\bigr) = 0{,}6093.

Passo 4

Critério de convergência (Banach): basta verificar se g é contracção num intervalo contendo a raiz.
g'(x) = \frac32\,x^{2}.
No intervalo aproximado onde a iteração se dá (por exemplo [0{,}5,0{,}7]),
0 \le g'(x) \le \frac32\,(0{,}7)^{2} = 0{,}735 <1.
Em particular, no ponto-fixo aproximado r\approx0{,}618 tem-se
|g'(r)| = \frac32\,r^{2}\approx0{,}573<1.
Logo g é contracção nessa vizinhança e a sequência \{p_{n}\} converge para a raiz r\approx0{,}618.

Resposta

p_{1}=0{,}5625,\quad p_{2}\approx0{,}5890,\quad p_{3}\approx0{,}6022,\quad p_{4}\approx0{,}6093.
A iteração converge, pois \max|g'(x)|<1 no intervalo considerado.

Exercícios relacionados