[Manual e Teórico] Seja
. Para resolver
as seguintes iterações de Ponto-Fixo são propostas. Derive cada uma delas e compute
e
começando com
. Quais são convergentes e porque?
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado dá a equação
e propõe a iteração de Ponto-Fixo
O conteúdo aqui é reorganizar
em
, definir
e, a partir de
, calcular
. Depois, usar o critério de convergência de Banach (contracção) para decidir se a iteração converge.
Passo 2
Derivação de
a partir de
:
Logo a iteração é
Passo 3
Cálculo de
começando em
:
Passo 4
Critério de convergência (Banach): basta verificar se
é contracção num intervalo contendo a raiz.
No intervalo aproximado onde a iteração se dá (por exemplo
),
Em particular, no ponto-fixo aproximado
tem-se
Logo
é contracção nessa vizinhança e a sequência
converge para a raiz
.
Resposta
A iteração converge, pois