[Manual e Teórico] Seja f(x)=x^{3}-2 x+1. Para resolver f(x)=0 as seguintes iterações de Ponto-Fixo são propostas. Derive cada uma delas e compute p_{1}, p_{2}, p_{3} e p_{4} começando com p_{0}=\frac{1}{2}. Quais são convergentes e porque?
(c) x=\sqrt{2-\frac{1}{x}}

Passo 1

O enunciado pede para usar a iteração de Ponto-Fixo gerada por
x = \sqrt{2 - \frac{1}{x}}
para aproximar raízes de f(x)=x^{3}-2x+1=0. Vamos definir
\varphi(x)=\sqrt{2-\frac{1}{x}}
e, a partir de p_{0}=\tfrac12, computar p_{1},p_{2},p_{3},p_{4}. Em seguida, analisar convergência explicando por que converge (ou não).

Passo 2

Derivamos \varphi(x) para verificar se há contração perto da raiz.
\varphi(x)=\bigl(2 - x^{-1}\bigr)^{1/2} \quad\implies\quad \varphi'(x) =\frac{1}{2\sqrt{2-\tfrac1x}}\;\cdot\;\frac{d}{dx}\Bigl(2-\tfrac1x\Bigr) =\frac{1}{2\sqrt{2-\tfrac1x}}\;\cdot\;\frac{1}{x^{2}}.

Passo 3

Agora geramos os p_{n}.
Para p_{0}=\tfrac12:
p_{1} =\varphi\bigl(p_{0}\bigr) =\sqrt{2 - \frac{1}{\tfrac12}} =\sqrt{2 - 2} =0.
Em seguida,
p_{2} =\varphi\bigl(p_{1}\bigr) =\sqrt{2 - \frac{1}{0}}
é indisponível (divisão por zero). Logo p_{2} não existe, e p_{3},p_{4} também não podem ser obtidos.

Passo 4

A iteração falha porque, mesmo que \varphi'(1)=\tfrac12<1 torne \varphi contratante perto da raiz x=1, o chute inicial p_{0}=\tfrac12 leva a p_{1}=0, onde \varphi não está definida. Assim, a sequência não é bem-definida e não converge.

Resposta

A iteração produz
p_{1}=0,\quad p_{2}\text{ indefinido},
logo não há p_{2},p_{3},p_{4}. A sequência não converge porque em p_{1}=0 ocorre divisão por zero em \varphi(x).

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