[Manual e Teórico] Seja f(x)=x^{3}-2 x+1. Para resolver f(x)=0 as seguintes iterações de Ponto-Fixo são propostas. Derive cada uma delas e compute p_{1}, p_{2}, p_{3} e p_{4} começando com p_{0}=\frac{1}{2}. Quais são convergentes e porque?
(d) x=-\sqrt[3]{1-2 x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver
f(x)=x^{3}-2x+1=0
usando uma iteração de Ponto‐Fixo da forma
x = -\sqrt[3]{\,1-2x\,}.
Ou seja, definimos
g(x) = -\bigl(1-2x\bigr)^{1/3},
e a iteração
p_{n+1} = g(p_n),
com p_0=\tfrac12.
O conteúdo é o Teorema do Ponto‐Fixo: se g é contração numa vizinhança da solução, então p_n\to\alpha tal que \alpha=g(\alpha).

Passo 2

Escrevendo explicitamente a função de iteração:
g(x) \;=\; -\bigl(1-2x\bigr)^{1/3}.
Logo a regra de iteração é
p_{n+1} = -\bigl(1-2\,p_n\bigr)^{1/3}.

Passo 3

Agora calculamos os quatro primeiros termos iniciando em p_0=\tfrac12:
p_1 = -\bigl(1 - 2\cdot\tfrac12\bigr)^{1/3} = -0^{1/3} = 0,
p_2 = -\bigl(1 - 2\cdot0\bigr)^{1/3} = -1^{1/3} = -1,
p_3 = -\bigl(1 - 2\cdot(-1)\bigr)^{1/3} = -3^{1/3} = -\sqrt[3]{3}\approx -1,44225,
p_4 = -\bigl(1 - 2\cdot(-\sqrt[3]{3})\bigr)^{1/3} = -\bigl(1 + 2\sqrt[3]{3}\bigr)^{1/3} \approx -1,5740.

Passo 4

Para ver convergência, calculemos
g'(x) = -\frac13\,(1-2x)^{-2/3}\,\bigl(-2\bigr) = \frac{2}{3}\,(1-2x)^{-2/3}.
Numa raiz \alpha satisfazendo \alpha^3-2\alpha+1=0, temos 1-2\alpha\neq0 e
\bigl|g'(\alpha)\bigr| = \frac{2}{3}\,\bigl|1-2\alpha\bigr|^{-2/3}.
Para a raiz negativa \alpha = \frac{-1-\sqrt5}{2}\approx -1,618, \bigl|1-2\alpha\bigr|=4,236 e \bigl|g'(\alpha)\bigr|\approx0,25<1,
logo g é contração nesse ponto e a iteração converge para \alpha.
Já para a raiz positiva menor \approx0,618, \bigl|g'\bigr|>1, diverge.

Resposta

p_1=0,\quad p_2=-1,\quad p_3=-\sqrt[3]{3}\approx -1,44225,\quad p_4=-\bigl(1+2\sqrt[3]{3}\bigr)^{1/3}\approx -1,5740.
A iteração converge para a raiz \displaystyle \alpha=\frac{-1-\sqrt5}{2}\approx -1,618 porque \lvert g'(\alpha)\rvert<1.

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