(a) Prove that if
, then
.
(b) Prove that the sequence
converges.
(c) Find the limit. Hint: Notice that if
, then
, by Theorem 1.
(b) Prove that the sequence
(c) Find the limit. Hint: Notice that if
Passo 1
O enunciado tem três partes. Vou listar claramente o que é dado e o que cada item pede.
- Informações dadas:
- A desigualdade a ser provada para qualquer número
tal que . - A sequência definida implicitamente pelos termos
ou seja, os termos são
- A desigualdade a ser provada para qualquer número
- Perguntas:
(a) Provar que, se, então .
(b) Provar que a sequência acima converge.
(c) Encontrar o limite da sequência (ou seja, calcular).
Passo 2
Prova de (a): mostrar
sob a hipótese
.
Explicação do raciocínio útil: quando trabalhamos com desigualdades envolvendo raízes quadradas, é frequente multiplicar ou elevar ao quadrado. Cuidado: elevar ao quadrado preserva a ordem apenas se os dois lados forem não negativos; aqui
garante isso.
- Mostrar
.
- Como
, podemos multiplicar por (positivo) para obter - Agora, porque
e a função é estritamente crescente em , podemos tirar raiz quadrada dos dois lados (ou simplesmente observar que se e então ). Assim
- Mostrar
.
- Da hipótese
segue . - Aplicando a raiz quadrada (função crescente em
) obtemos
Juntando as duas desigualdades temos
, como desejado.
Passo 3
Preparação para (b): identificar a relação de recorrência e provar por indução que todos os termos ficam em
e que a sequência é crescente.
Primeiro, verificar o primeiro termo:
-
. Como , tem-se .
Agora a ideia: usar (a) com
. Se
, então por (a) temos
Isto mostra duas coisas ao mesmo tempo:
(crescente) e
(limitado por cima).
Formalizando por indução:
- Base (
): já vimos . - Passo indutivo: suponha
. Aplicando o resultado de (a) com obtemos . Em particular e .
Assim por indução todos os termos satisfazem
e a sequência
é estritamente crescente.
Passo 4
Conclusão de (b): aplicar o teorema do limite para sequências monotônicas.
Explicação didática do teorema usado: uma sequência que é monotonicamente crescente e tem um limite superior finito é convergente (pela completude dos reais). Intuição: uma sequência crescente que não ultrapassa um número fica presa e tem supremum finito; os termos aproximam esse supremo.
Aqui já provamos que
é crescente e que todos os termos satisfazem
, logo
é um majorante (um limite superior). Portanto
é crescente e limitada superiormente, então converge. Isso responde (b).
Passo 5
Determinação do limite (c).
Seja
. Pelo enunciado (e por um fato padrão sobre limites e funções contínuas) a função
é contínua em
. Portanto aplicando
aos termos e levando limite,
Mas
. Logo
satisfaz a equação
Resolver essa equação: elevar ao quadrado ambos os lados (valido porque
) dá
Assim as soluções são
ou
.
Decidir qual é o limite da sequência: como todos os
e a sequência é crescente com
, o limite não pode ser
. Mais formal: para todo
,
, então
, portanto
. Logo
.
Portanto o limite da sequência é
.
Resposta
(a)
para todo
.
(b) A sequência é estritamente crescente e limitada superiormente por
; portanto ela converge.
(c)
.