(a) Prove that if 0<a<2, then a<\sqrt{2 a}<2.
(b) Prove that the sequence
\sqrt{2}, \sqrt{2 \sqrt{2}}, \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2}}}, \ldots
converges.
(c) Find the limit. Hint: Notice that if \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=l, then \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{2 a_{n}}=\sqrt{2 l}, by Theorem 1.

Passo 1

O enunciado tem três partes. Vou listar claramente o que é dado e o que cada item pede.
  • Informações dadas:
    • A desigualdade a ser provada para qualquer número a tal que 0<a<2.
    • A sequência definida implicitamente pelos termos a_1=\sqrt{2},\qquad a_{n+1}=\sqrt{2a_n}\quad\text{para }n\ge1,ou seja, os termos são \sqrt{2},\\ \sqrt{2\sqrt{2}},\\ \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}},\ldots
  • Perguntas:
    (a) Provar que, se 0<a<2, então a<\sqrt{2a}<2.
    (b) Provar que a sequência acima converge.
    (c) Encontrar o limite da sequência (ou seja, calcular \lim_{n\to\infty} a_n).

Passo 2

Prova de (a): mostrar a<\sqrt{2a}<2 sob a hipótese 0<a<2.
Explicação do raciocínio útil: quando trabalhamos com desigualdades envolvendo raízes quadradas, é frequente multiplicar ou elevar ao quadrado. Cuidado: elevar ao quadrado preserva a ordem apenas se os dois lados forem não negativos; aqui a>0 garante isso.
  1. Mostrar a<\sqrt{2a}.
  • Como 0<a<2, podemos multiplicar a<2 por a (positivo) para obter a^2<2a.
  • Agora, porque a>0 e a função x\mapsto x^2 é estritamente crescente em [0,\infty), podemos tirar raiz quadrada dos dois lados (ou simplesmente observar que se x^2<y^2 e x,y\ge0 então x<y). Assim a<\sqrt{2a}.
  1. Mostrar \sqrt{2a}<2.
  • Da hipótese a<2 segue 2a<4.
  • Aplicando a raiz quadrada (função crescente em [0,\infty)) obtemos \sqrt{2a}<\sqrt{4}=2.
Juntando as duas desigualdades temos a<\sqrt{2a}<2, como desejado.

Passo 3

Preparação para (b): identificar a relação de recorrência e provar por indução que todos os termos ficam em (0,2) e que a sequência é crescente.
Primeiro, verificar o primeiro termo:
  • a_1=\sqrt{2}. Como \sqrt{2}\approx1{,}414, tem-se 0<a_1<2.
Agora a ideia: usar (a) com a=a_n. Se 0<a_n<2, então por (a) temos
a_n<\sqrt{2a_n}=a_{n+1}<2.
Isto mostra duas coisas ao mesmo tempo: a_{n+1}>a_n (crescente) e a_{n+1}<2 (limitado por cima).
Formalizando por indução:
  • Base ( n=1): já vimos 0<a_1<2.
  • Passo indutivo: suponha 0<a_n<2. Aplicando o resultado de (a) com a=a_n obtemos a_n<a_{n+1}<2. Em particular 0<a_{n+1}<2 e a_{n+1}>a_n.
Assim por indução todos os termos satisfazem 0<a_n<2 e a sequência (a_n) é estritamente crescente.

Passo 4

Conclusão de (b): aplicar o teorema do limite para sequências monotônicas.
Explicação didática do teorema usado: uma sequência que é monotonicamente crescente e tem um limite superior finito é convergente (pela completude dos reais). Intuição: uma sequência crescente que não ultrapassa um número fica presa e tem supremum finito; os termos aproximam esse supremo.
Aqui já provamos que (a_n) é crescente e que todos os termos satisfazem a_n<2, logo 2 é um majorante (um limite superior). Portanto (a_n) é crescente e limitada superiormente, então converge. Isso responde (b).

Passo 5

Determinação do limite (c).
Seja l=\lim_{n\to\infty} a_n. Pelo enunciado (e por um fato padrão sobre limites e funções contínuas) a função f(x)=\sqrt{2x} é contínua em [0,\infty). Portanto aplicando f aos termos e levando limite,
\lim_{n\to\infty} a_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\sqrt{2a_n}=\sqrt{2\lim_{n\to\infty} a_n}=\sqrt{2l}.
Mas \lim_{n\to\infty} a_{n+1}=\lim_{n\to\infty} a_n=l. Logo l satisfaz a equação
l=\sqrt{2l}.
Resolver essa equação: elevar ao quadrado ambos os lados (valido porque l\ge0) dá
l^2=2l \quad\Rightarrow\quad l^2-2l=0 \quad\Rightarrow\quad l(l-2)=0.
Assim as soluções são l=0 ou l=2.
Decidir qual é o limite da sequência: como todos os a_n>0 e a sequência é crescente com a_1=\sqrt{2}>0, o limite não pode ser 0. Mais formal: para todo n, a_n\ge a_1>0, então l\ge a_1>0, portanto l\ne0. Logo l=2.
Portanto o limite da sequência é 2.

Resposta

(a) a<\sqrt{2a}<2 para todo 0<a<2.
(b) A sequência é estritamente crescente e limitada superiormente por 2; portanto ela converge.
(c) \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = 2.

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