Em uma mão de pôquer, João tem uma mão muito forte e aposta 20 reais. A probabilidade que Maria tenha uma mão melhor é 0,04 . Se Maria tivesse uma mão melhor ela aumentaria a aposta com probabilidade 0,9 , mas com uma mão pior ela só aumentaria com probabilidade 0,1 . Se Maria aumentar, qual é a probabilidade de ela ter uma mão melhor do que João?

Passo 1

O problema diz que João aposta e que a probabilidade de Maria ter uma mão melhor que a de João é ,0,04. Se ela tiver uma mão melhor, ela aumenta com probabilidade ,0,9, e se tiver uma mão pior, ela aumenta com probabilidade ,0,1. Queremos a probabilidade de ela ter uma mão melhor dado que ela aumenta a aposta. Para isso vamos usar o Teorema de Bayes.

Passo 2

Definimos os eventos
B = Maria tem mão melhor que a de João, R = Maria aumenta a aposta ãã
Do enunciado temos:
P(B) = 0,04, P(B) = 1 - P(B) = 0,96,
P(R mid B) = 0,9, P(R mid B) = 0,1

Passo 3

Pela probabilidade total, a probabilidade de Maria aumentar é
P(R) = P(R mid B),P(B) + P(R mid B),P(B) = 0,9 times 0,04 + 0,1 times 0,96 = 0,036 + 0,096 = 0,132

Passo 4

Aplicando o Teorema de Bayes para P(Bmid R):
P(Bmid R) = P(Rmid B),P(B)P(R) = 0,9 times 0,040,132 = 0,0360,132 approx 0,2727

Resposta

A probabilidade de Maria ter uma mão melhor dado que ela aumenta é aproximadamente 0,273 (ou 27,3%).

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