Em uma urna há uma bola cuja cor ou é branca ou é preta. Uma bola de cor branca é acrescentada a esta urna. Aleatoriamente uma bola é retirada da urna e sua cor é branca. Qual a probabilidade da outra bola ser branca?

Passo 1

O enunciado diz que inicialmente há uma bola na urna, cuja cor é ou branca ou preta com probabilidade igual (não temos informação preferencial). Em seguida, adicionamos uma segunda bola branca, ficamos com duas bolas e retiramos aleatoriamente uma que saiu branca. A pergunta pede a probabilidade de a bola que ficou na urna (a “outra” bola) ser branca, dado que a retiramos branca.
Conteúdo: probabilidade condicional e teorema de Bayes.

Passo 2

Definimos as hipóteses sobre a cor da bola inicial:
HW: bola inicial é branca.
HB: bola inicial é preta.
Como não há informação prévia, tomamos Pr(HW) = Pr(HB) = tfrac12.

Passo 3

Calculamos a probabilidade de retirar uma bola branca nas duas hipóteses:
Sob HW, após adicionar uma branca, há duas bolas brancas, logo
Pr(branca retiradamid HW) = 1
Sob HB, após adicionar uma branca, há uma branca e uma preta, logo
Pr(branca retiradamid HB) = tfrac12

Passo 4

Pelo teorema de Bayes, a probabilidade de a inicial ter sido branca, dado que tiramos branca, é
Pr(HWmid branca retirada) = Pr(HW)Pr(brancamid HW) Pr(HW)Pr(brancamid HW) + Pr(HB)Pr(brancamid HB) = tfrac12cdot1tfrac12cdot1 + tfrac12cdottfrac12 = 1/21/2 + 1/4 = 23

Passo 5

Se a hipótese HW é verdadeira, então ambas as bolas eram brancas e a que ficou na urna é branca; se HB é verdadeira, a outra bola é preta. Portanto a probabilidade de a outra bola ser branca coincide com Pr(HWmid branca retirada).

Resposta

A probabilidade de a outra bola ser branca é 23.

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