Em uma urna há uma bola cuja cor ou é branca ou é preta. Uma bola de cor branca é acrescentada a esta urna. Aleatoriamente uma bola é retirada da urna e sua cor é branca. Qual a probabilidade da outra bola ser branca?
Passo 1
O enunciado diz que inicialmente há uma bola na urna, cuja cor é ou branca ou preta com probabilidade igual (não temos informação preferencial). Em seguida, adicionamos uma segunda bola branca, ficamos com duas bolas e retiramos aleatoriamente uma que saiu branca. A pergunta pede a probabilidade de a bola que ficou na urna (a “outra” bola) ser branca, dado que a retiramos branca.
Conteúdo: probabilidade condicional e teorema de Bayes.
Conteúdo: probabilidade condicional e teorema de Bayes.
Passo 2
Definimos as hipóteses sobre a cor da bola inicial:
bola inicial é branca.
bola inicial é preta.
Como não há informação prévia, tomamos .
Como não há informação prévia, tomamos
Passo 3
Calculamos a probabilidade de retirar uma bola branca nas duas hipóteses:
Sob , após adicionar uma branca, há duas bolas brancas, logo
Sob
Sob
, após adicionar uma branca, há uma branca e uma preta, logo
Passo 4
Pelo teorema de Bayes, a probabilidade de a inicial ter sido branca, dado que tiramos branca, é
Passo 5
Se a hipótese
é verdadeira, então ambas as bolas eram brancas e a que ficou na urna é branca; se
é verdadeira, a outra bola é preta. Portanto a probabilidade de a outra bola ser branca coincide com
.
Resposta
A probabilidade de a outra bola ser branca é
.