A maquina de Atwood consiste numa polia de momento de inercia
de massa
, de raio
, que pode girar em torno de um eixo fixo passando pelo seu centro O e em duas massas
suspensas por um fio de massa desprezivel, que desliza sem atrito sobre a polia.
Esboce uma figura que esquematiza o sistema mostrando as forças atuando sobre as massas e a polia. Aplique a
lei de Newton e escreve as equações do movimento dos três corpos.
Esboce uma figura que esquematiza o sistema mostrando as forças atuando sobre as massas e a polia. Aplique a
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma máquina de Atwood com uma polia que tem um momento de inércia $ I = \frac{M R^{2}}{2} $, onde a massa da polia é $ M = 2,5 , \mathrm{kg} $ e seu raio é $ R = 20 , \mathrm{cm} $. Existem duas massas penduradas, $ m_{1} = 1,2 , \mathrm{kg} $ e $ m_{2} = 1,4 , \mathrm{kg} $, ligadas por um fio sem massa que passa sem atrito pela polia. Precisamos esboçar o sistema com as forças atuando e aplicar a segunda lei de Newton para escrever as equações do movimento dos três corpos envolvidos: as duas massas e a polia.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as forças atuando em cada parte do sistema. Nas massas $ m_{1} $ e $ m_{2} $, temos duas forças principais: a força da gravidade (peso) agindo para baixo e a tensão do fio agindo para cima. Para a polia, temos o momento de inércia que depende de como as forças das tensões do fio nas duas massas causam um torque que faz a polia girar.
Passo 3
Vamos aplicar a segunda lei de Newton para cada massa. A segunda lei de Newton diz que a força resultante em um objeto é igual à massa do objeto multiplicada pela sua aceleração ($ F = m \cdot a $). Para $ m_{1} $ e $ m_{2} $, isso nos dá:
Para $ m_{1} $:
Para $ m_{2} $:
Aqui, $ T_{1} $ e $ T_{2} $ são as tensões do fio nas massas $ m_{1} $ e $ m_{2} $, respectivamente, $ g $ é a aceleração da gravidade, e $ a $ é a aceleração comum das massas.
Passo 4
Agora, vamos considerar a polia. A segunda lei de Newton para a rotação diz que o torque total ($ \tau
I
\alpha $):
O torque é produzido pelas tensões $ T_{1} $ e $ T_{2} $, e como a aceleração angular $ \alpha $ está relacionada com a aceleração linear $ a $ pelas equação $ \alpha = \frac{a}{R} $, temos:
Substituindo o momento de inércia $ I = \frac{MR^{2}}{2} $:
Simplificando:
Passo 5
Agora, temos um sistema de três equações:
- $ m_{1}g - T_{1} = m_{1}a $
- $ T_{2} - m_{2}g = m_{2}a $
- $ T_{2} - T_{1} = \frac{M a}{2} $
Vamos resolver esse sistema para encontrar a aceleração $ a $.
Primeiro, da equação 3, podemos expressar $ T_{2} $ em termos de $ T_{1} $:
Agora, substituímos $ T_{2} $ na equação 2:
Isolando $ T_{1} $:
Agora, substituímos $ T_{1} $ na equação 1:
Simplificando:
Agrupando os termos com $ a $:
Fatorando $ a $:
Finalmente, isolamos $ a $:
Resposta
A aceleração do sistema é:
Calculando os valores:
A aceleração do sistema é aproximadamente $ -0,754 , \mathrm{m/s^{2}} $. O sinal negativo indica que a massa $ m_{2} $ está descendo enquanto $ m_{1} $ está subindo.