A maquina de Atwood consiste numa polia de momento de inercia I=M R^2 / 2 de massa M=2.5 kg, de raio R=20 cm, que pode girar em torno de um eixo fixo passando pelo seu centro O e em duas massas m1=1,2 kg e m2=1,4 kg suspensas por um fio de massa desprezivel, que desliza sem atrito sobre a polia.
Esboce uma figura que esquematiza o sistema mostrando as forças atuando sobre as massas e a polia. Aplique a 2^a lei de Newton e escreve as equações do movimento dos três corpos.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma máquina de Atwood com uma polia que tem um momento de inércia $ I = \frac{M R^{2}}{2} $, onde a massa da polia é $ M = 2,5 , \mathrm{kg} $ e seu raio é $ R = 20 , \mathrm{cm} $. Existem duas massas penduradas, $ m_{1} = 1,2 , \mathrm{kg} $ e $ m_{2} = 1,4 , \mathrm{kg} $, ligadas por um fio sem massa que passa sem atrito pela polia. Precisamos esboçar o sistema com as forças atuando e aplicar a segunda lei de Newton para escrever as equações do movimento dos três corpos envolvidos: as duas massas e a polia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as forças atuando em cada parte do sistema. Nas massas $ m_{1} $ e $ m_{2} $, temos duas forças principais: a força da gravidade (peso) agindo para baixo e a tensão do fio agindo para cima. Para a polia, temos o momento de inércia que depende de como as forças das tensões do fio nas duas massas causam um torque que faz a polia girar.

Passo 3

Vamos aplicar a segunda lei de Newton para cada massa. A segunda lei de Newton diz que a força resultante em um objeto é igual à massa do objeto multiplicada pela sua aceleração ($ F = m \cdot a $). Para $ m_{1} $ e $ m_{2} $, isso nos dá:
Para $ m_{1} $:
F = m cdot a
Para $ m_{2} $:
m1
Aqui, $ T_{1} $ e $ T_{2} $ são as tensões do fio nas massas $ m_{1} $ e $ m_{2} $, respectivamente, $ g $ é a aceleração da gravidade, e $ a $ é a aceleração comum das massas.

Passo 4

Agora, vamos considerar a polia. A segunda lei de Newton para a rotação diz que o torque total ($ \tau tau éé I I çã \alpha $):
alpha
O torque é produzido pelas tensões $ T_{1} $ e $ T_{2} $, e como a aceleração angular $ \alpha $ está relacionada com a aceleração linear $ a $ pelas equação $ \alpha = \frac{a}{R} $, temos:
tau = Ialpha
Substituindo o momento de inércia $ I = \frac{MR^{2}}{2} $:
T1
Simplificando:
T2

Passo 5

Agora, temos um sistema de três equações:
  1. $ m_{1}g - T_{1} = m_{1}a $
  2. $ T_{2} - m_{2}g = m_{2}a $
  3. $ T_{2} - T_{1} = \frac{M a}{2} $
Vamos resolver esse sistema para encontrar a aceleração $ a $.
Primeiro, da equação 3, podemos expressar $ T_{2} $ em termos de $ T_{1} $:
m1g - T1 = m1a
Agora, substituímos $ T_{2} $ na equação 2:
T2 - m2g = m2a
Isolando $ T_{1} $:
T2 - T1 = M a2
Agora, substituímos $ T_{1} $ na equação 1:
a
Simplificando:
T2
Agrupando os termos com $ a $:
T1
Fatorando $ a $:
T2 = T1 + M a2
Finalmente, isolamos $ a $:
T2

Resposta

A aceleração do sistema é:
a = (1,2 , kg - 1,4 , kg) cdot 9,8 , m/s^21,2 , kg + 1,4 , kg - 2,5 , kg2
Calculando os valores:
a = (-0,2 , kg) cdot 9,8 , m/s^22,6 , kg = -1,96 , N2,6 , kg approx -0,754 , m/s^2
A aceleração do sistema é aproximadamente $ -0,754 , \mathrm{m/s^{2}} $. O sinal negativo indica que a massa $ m_{2} $ está descendo enquanto $ m_{1} $ está subindo.

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