A maquina de Atwood consiste numa polia de momento de inercia
de massa
, de raio
, que pode girar em torno de um eixo fixo passando pelo seu centro O e em duas massas
suspensas por um fio de massa desprezivel, que desliza sem atrito sobre a polia.
Determine a velocidade
da massa
quando esta percorreu um deslocamento h. Demonstre o mesmo resultado aplicando a lei de conservação da energia ao sistema constituido pelos três corpos.
Determine a velocidade
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a Máquina de Atwood! O enunciado nos dá uma polia com momento de inércia, duas massas ligadas por um fio que passa pela polia, e queremos descobrir a velocidade da massa $ m_2 $ após ela descer um certo deslocamento $ h $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de Dinâmica Rotacional e Conservação de Energia. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos usar a Segunda Lei de Newton para sistemas com rotação. A ideia aqui é relacionar as forças nas massas com o torque na polia. Vamos identificar as forças que atuam em cada massa:
- Para $ m_1 $: A força peso $ m_1 g $ puxa para baixo e a tensão $ T_1 $ puxa para cima.
- Para $ m_2 $: A força peso $ m_2 g $ puxa para baixo e a tensão $ T_2 $ puxa para cima.
Como a polia está girando, a diferença entre $ T_1 $ e $ T_2 $ vai causar uma aceleração angular $ \alpha $ na polia.
Passo 3
Vamos relacionar a aceleração linear $ a $ das massas com a aceleração angular $ \alpha $ da polia. Sabemos que:
Onde $ R $ é o raio da polia. Isso nos ajuda a conectar a translação das massas com a rotação da polia.
Passo 4
Agora, aplicamos a Segunda Lei de Newton para cada massa:
Para $ m_1 $:
Para $ m_2 $:
Isso nos dá duas equações com duas incógnitas: $ T_1 $, $ T_2 $ e $ a $.
Passo 5
Além disso, a diferença de tensões gera um torque na polia:
E sabemos que torque está relacionado ao momento de inércia $ I $ e à aceleração angular $ \alpha $:
Substituindo $ \alpha = \frac{a}{R} $:
Passo 6
Agora, temos um sistema de três equações:
- $ m_1 g - T_1 = m_1 a $
- $ T_2 - m_2 g = m_2 a $
- $ T_1 - T_2 = \frac{I a}{R^2} $
Nosso objetivo é encontrar $ a $, e daí determinar a velocidade $ v $ após o deslocamento $ h $.
Passo 7
Vamos resolver o sistema. Somando as duas primeiras equações:
Substituindo $ T_1 - T_2 $ da terceira equação:
Então, a aceleração $ a $ é:
Passo 8
Agora, substituímos os valores dados:
- $ M = 2.5 , kg $
- $ R = 0.20 , m $
- $ I = \frac{M R^2}{2} = \frac{2.5 \times (0.20)^2}{2} = 0.05 , kg·m^2 $
- $ m_1 = 1.2 , kg $
- $ m_2 = 1.4 , kg $
- $ g = 9.81 , m/s^2 $
Substituindo na expressão de $ a $:
O sinal negativo indica que a aceleração está na direção oposta ao que assumimos inicialmente, mas para a velocidade, vamos considerar o módulo.
Passo 9
Agora, para encontrar a velocidade $ v $ após o deslocamento $ h $, usamos a equação de movimento uniforme acelerado:
Assumindo que a massa parte do repouso ($ v_0 = 0 $):
Substituindo $ a $:
Passo 10
Agora, vamos confirmar esse resultado usando a Lei de Conservação da Energia. A ideia é que a energia potencial perdida pelas massas se converte na energia cinética das massas e na energia rotacional da polia.
Para isso, a energia total inicial é zero (massas em repouso), e a energia final é:
Como a polia gira com $ \omega = \frac{v}{R} $ e $ h_1 = h $, $ h_2 = h $:
Simplificando:
Resolvendo para $ v $:
Substituindo os valores:
Confere com o resultado anterior!
Resposta
Usando tanto a Segunda Lei de Newton quanto a Conservação de Energia, concluímos que a velocidade $ v $ da massa $ m_2 $ após descer um deslocamento $ h $ é: