P med =2 sin theta cos phir^2 ar W / m^2, 0
Calcule o ganho diretivo e a diretividade da antena. Considere que, conforme a teoria, a Potência média de Entrada ( Pi n=integral P med d Omega ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a potência média irradiada por uma antena, que é expressa pela fórmula:
Pmed = 2 sin theta cos phir^2 ar W/m^2, 0
Nosso objetivo aqui é calcular o ganho diretivo e a diretividade dessa antena. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre como a potência é distribuída no espaço ao redor da antena e como isso se relaciona com essas duas grandezas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a diretividade. Diretividade é uma medida de quão bem a antena direciona a energia em uma direção específica em comparação com uma antena isotrópica (que distribui energia igualmente em todas as direções). Para calcular a diretividade, precisamos encontrar o valor máximo da potência irradiada e compará-lo com a potência média irradiada em todas as direções.

Passo 3

Vamos identificar o valor máximo de $ P_{med} $. Observando a fórmula:
Pmed
O valor máximo ocorre quando Pmed = 2 sin theta cos phir^2 é máximo. Sabemos que sin theta cos phi tem seu máximo em sin theta e theta = pi2 tem seu máximo em cos phi. Assim, o valor máximo de $ P_{med} $ é:
phi = 0

Passo 4

Agora, precisamos calcular a potência média de entrada ($ P_{in} $), que é a potência total irradiada pela antena em todas as direções. Isso é feito integrando $ P_{med} $ sobre toda a esfera, ou seja, sobre todos os ângulos sólidos $ \Omega $:
Pin
Sabemos que $ d\Omega = \sin \theta , d\theta , d\phi $, então:
Pmed

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, vamos integrar em relação a theta:
integral0^pi 2 sin^2 theta cos phi , dtheta = 2 cos phi integral0^pi sin^2 theta , dtheta
Sabemos que:
integral sin^2 theta , dtheta = theta2 - sin 2theta4 + C
Então, avaliando de 0 a pi:
2 cos phi [ ( pi2 - 0 ) - ( 0 - 0 ) ] = 2 cos phi cdot pi2 = pi cos phi

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a phi:
Pin = 1r^2 integral0^pi2 pi cos phi , dphi = pir^2 integral0^pi2 cos phi , dphi
A integral de cos phi é sin phi, então:
pir^2 [ sin phi ]0^pi2 = pir^2 ( 1 - 0 ) = pir^2

Passo 7

Com $ P_{med, max} = \frac{2}{r^{2}} $ e $ P_{in} = \frac{\pi}{r^{2}} Pmed, max = 2r^2 D $):
Pin = pir^2

Passo 8

Agora, para encontrar o ganho diretivo ($ G $), normalmente consideramos a eficiência da antena. Se não for dada a eficiência, assumimos que é 100%, ou seja, $ \eta = 1 $. Então, o ganho é igual à diretividade:
G

Resposta

A diretividade da antena é 8, e o ganho diretivo também é 8.

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