Calcule o ganho diretivo e a diretividade da antena. Considere que, conforme a teoria, a Potência média de Entrada (
).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a potência média irradiada por uma antena, que é expressa pela fórmula:
Nosso objetivo aqui é calcular o ganho diretivo e a diretividade dessa antena. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre como a potência é distribuída no espaço ao redor da antena e como isso se relaciona com essas duas grandezas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a diretividade. Diretividade é uma medida de quão bem a antena direciona a energia em uma direção específica em comparação com uma antena isotrópica (que distribui energia igualmente em todas as direções). Para calcular a diretividade, precisamos encontrar o valor máximo da potência irradiada e compará-lo com a potência média irradiada em todas as direções.
Passo 3
Vamos identificar o valor máximo de $ P_{med} $. Observando a fórmula:
O valor máximo ocorre quando
é máximo. Sabemos que
tem seu máximo em
e
tem seu máximo em
. Assim, o valor máximo de $ P_{med} $ é:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a potência média de entrada ($ P_{in} $), que é a potência total irradiada pela antena em todas as direções. Isso é feito integrando $ P_{med} $ sobre toda a esfera, ou seja, sobre todos os ângulos sólidos $ \Omega $:
Sabemos que $ d\Omega = \sin \theta , d\theta , d\phi $, então:
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, vamos integrar em relação a
:
Sabemos que:
Então, avaliando de 0 a
:
Passo 6
Agora, vamos integrar em relação a
:
A integral de
é
, então:
Passo 7
Com $ P_{med, max} = \frac{2}{r^{2}} $ e $ P_{in} = \frac{\pi}{r^{2}}
D $):
Passo 8
Agora, para encontrar o ganho diretivo ($ G $), normalmente consideramos a eficiência da antena. Se não for dada a eficiência, assumimos que é 100%, ou seja, $ \eta = 1 $. Então, o ganho é igual à diretividade:
Resposta
A diretividade da antena é 8, e o ganho diretivo também é 8.