Uma máquina automática para encher pacotes de café enche-os segundo uma distribuição normal, com média \mu e variância sempre igual a 400 \mathrm{~g}^{2}. A máquina foi regulada para o peso médio de 500 g. Desejamos, periodicamente, colher uma amostra de 16 pacotes e verificar se a produção está sob controle ou não.
a) Se uma dessas amostras apresentasse uma média de 492 g , você pararia ou não a produção para regular a máquina? Considere \alpha=1 \%.
b) Determine o valor- p para esse teste de hipótese.

Passo 1

O enunciado descreve um processo de enchimento que gera pacotes com peso \mathcal{N}(\mu,400). A máquina foi calibrada para \mu=500 g e de tempos em tempos coletamos uma amostra de tamanho n=16. Queremos testar, a nível de significância \alpha=1\%, se a média real difere de 500 g quando observamos \bar X=492 g.

Passo 2

Como a variância populacional \sigma^2=400 g ^2 é conhecida, usamos o teste-z bilateral com hipóteses
H_0:\mu=500 \quad\text{vs}\quad H_1:\mu\neq500,
estatística
Z=\frac{\bar X-500}{\sigma/\sqrt{n}}
e nível \alpha=0,01.

Passo 3

Calcular Z para \bar X=492:
\sigma=20,\quad \sqrt{n}=4 \quad\Longrightarrow\quad Z=\frac{492-500}{20/4}=\frac{-8}{5}=-1{,}6.

Passo 4

No teste bilateral de nível \alpha temos região crítica \{|Z|>z_{1-\alpha/2}\} com
z_{1-\alpha/2}=z_{0,995}\approx2{,}5758.
Como |Z|=1{,}6<2{,}5758, não rejeitamos H_0. Logo, não paramos a produção.

Passo 5

O valor- p do teste bilateral é
p=2\,P\bigl(Z\le-1{,}6\bigr) =2\,(0{,}0548)\approx0{,}1096.

Resposta

(a) Não paro a produção, pois |Z|=1{,}6<2{,}5758 e portanto não rejeito H_0 a 1\%.
(b) p\approx0{,}1096.

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