Uma máquina de Carnot opera entre dois reservatórios térmicos de temperatura iguais a 300 K e 200 K . (a) Qual o rendimento desta máquina? (b) Qual o trabalho que efetua por ciclo se ela absorve 100 J de calor? (c) Qual o calor descarregado? (d) Qual o COE se ela fosse um refrigerador?

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede as seguintes coisas.
Dados:
T_h = 300\\ \mathrm{K}, \qquad T_c = 200\\ \mathrm{K}, \qquad Q_h = 100\\ \mathrm{J}
Perguntas:
(a) Qual o rendimento da máquina de Carnot?
(b) Qual o trabalho que ela efetua por ciclo, dado Q_h=100\\ \mathrm{J}?
(c) Qual o calor descarregado Q_c?
(d) Qual o coeficiente de desempenho (COE, também chamado de COP) se ela fosse usada como refrigerador?

Passo 2

Entender o que é rendimento de uma máquina térmica e a fórmula de Carnot (aula rápida e clara).
Rendimento ( \eta) é a fração do calor absorvido que vira trabalho. Em termos de Q_h (calor absorvido do reservatório quente), Q_c (calor rejeitado ao reservatório frio) e W (trabalho útil):
\eta = \frac{W}{Q_h} = \frac{Q_h - Q_c}{Q_h} = 1 - \frac{Q_c}{Q_h}.
Para uma máquina de Carnot (reversível e ideal) opera entre temperaturas T_h e T_c, vale a relação (isso vem da segunda lei e da reversibilidade; aqui uso o resultado):
\frac{Q_c}{Q_h} = \frac{T_c}{T_h}.
Substituindo essa relação em \eta obtemos a fórmula-prática que você precisa saber e usar na prova:
\eta = 1 - \frac{T_c}{T_h}.
Aqui \eta é adimensional (pode-se multiplicar por 100\% para virar porcentagem), T_h e T_c são as temperaturas absolutas em kelvin, e a razão \frac{T_c}{T_h} é adimensional.

Passo 3

Calcule o rendimento da máquina aplicando a fórmula com T_h=300\\ \mathrm{K} e T_c=200\\ \mathrm{K}.
\eta = 1 - \frac{T_c}{T_h} = 1 - \frac{200}{300} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}.
Como percentual:
\eta = \frac{1}{3} \approx 33{,}33\%.
Interpretação rápida: em cada ciclo, no máximo um terço do calor absorvido pode virar trabalho — para essa diferença de temperaturas não dá para extrair mais.

Passo 4

Calcule o trabalho por ciclo usando a definição de rendimento. Como \eta = \dfrac{W}{Q_h}, então
W = \eta\,Q_h.
Substituindo \eta=\dfrac{1}{3} e Q_h=100\\ \mathrm{J}:
W = \frac{1}{3}\cdot 100\\ \mathrm{J} = \frac{100}{3}\\ \mathrm{J} \approx 33{,}33\\ \mathrm{J}.
Dica prática para prova: você pode deixar em fração exata \dfrac{100}{3}\\ \mathrm{J} ou dar a aproximação decimal.

Passo 5

Calcule o calor rejeitado Q_c. Use conservação de energia por ciclo:
Q_h = W + Q_c \quad\Rightarrow\quad Q_c = Q_h - W.
Substituindo W=\dfrac{100}{3}\\ \mathrm{J} e Q_h=100\\ \mathrm{J}:
Q_c = 100 - \frac{100}{3} = \frac{200}{3}\\ \mathrm{J} \approx 66{,}67\\ \mathrm{J}.
Verificação alternativa (usa a relação de Carnot): \dfrac{Q_c}{Q_h}=\dfrac{T_c}{T_h}=\dfrac{200}{300}=\dfrac{2}{3}, então Q_c=\dfrac{2}{3}\cdot 100=\dfrac{200}{3}\\ \mathrm{J} — bate com o cálculo anterior.

Passo 6

Agora o COE (COP) se a mesma máquina fosse usada como refrigerador. Aula curta sobre COP de refrigerador: para um refrigerador que retira calor Q_c do reservatório frio e consome trabalho W, o coeficiente de desempenho (COP ou COE) é definido como
\mathrm{COP}_{\text{ref}} = \frac{Q_c}{W}.
Para um refrigerador de Carnot, podemos usar as relações reversíveis. Sabendo que W = Q_h - Q_c e \dfrac{Q_h}{Q_c}=\dfrac{T_h}{T_c}, uma manipulação dá a fórmula usual:
\mathrm{COP}_{\text{ref}} = \frac{Q_c}{W} = \frac{Q_c}{Q_h - Q_c} = \frac{1}{\dfrac{Q_h}{Q_c}-1} = \frac{1}{\dfrac{T_h}{T_c}-1} = \frac{T_c}{T_h-T_c}.
Substituindo T_c=200\\ \mathrm{K} e T_h=300\\ \mathrm{K}:
\mathrm{COP}_{\text{ref}} = \frac{200}{300-200} = \frac{200}{100} = 2.
Interpretação: para cada joule de trabalho gasto, o refrigerador ideal Carnot retira 2\\ \mathrm{J} do frio.

Passo 7

Checagem rápida de consistência numérica:
W + Q_c = \frac{100}{3} + \frac{200}{3} = \frac{300}{3} = 100\\ \mathrm{J} = Q_h,
tudo fecha numericamente. Parabéns — os números batem e você pode explicar isso na prova como verificação.

Resposta

(a) \eta = \dfrac{1}{3} \approx 33{,}33\%
(b) W = \dfrac{100}{3}\\ \mathrm{J} \approx 33{,}33\\ \mathrm{J}
(c) Q_c = \dfrac{200}{3}\\ \mathrm{J} \approx 66{,}67\\ \mathrm{J}
(d) \mathrm{COE\\ (COP)} = 2

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