Uma máquina opera entre 400 K e 200 K . Ela absorve 1000 J de calor do reservatório quente e efetua 200 J de trabalho por ciclo. (a) Qual o rendimento desta máquina? (b) Qual a variação de entropia do universo? (c) Qual o rendimento de Carnot para essas temperaturas? (d) Qual o trabalho de Carnot para o mesmo calor absorvido? (e) Mostrar que a diferença entre o trabalho de Carnot e o trabalho da máquina real é igual a \mathrm{T}_{\mathrm{f}} \Delta \mathrm{S}_{\mathrm{u}}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz as perguntas abaixo:
  • Dados fornecidos:
    • Temperatura do reservatório quente: T_{h}=400\\ \text{K}.
    • Temperatura do reservatório frio: T_{c}=200\\ \text{K}.
    • Calor absorvido do reservatório quente por ciclo: Q_{h}=1000\\ \text{J}.
    • Trabalho realizado pela máquina por ciclo: W=200\\ \text{J}.
  • O enunciado pede:
    (a) O rendimento da máquina real.
    (b) A variação de entropia do universo por ciclo.
    (c) O rendimento de Carnot entre essas temperaturas.
    (d) O trabalho que um motor de Carnot realizaria se absorvesse o mesmo Q_{h}.
    (e) Mostrar que a diferença entre o trabalho de Carnot e o trabalho da máquina real é igual a T_{c}\,\Delta S_{u} e verificar numericamente.

Passo 2

Primeiro conceito importante: rendimento (eficiência) de uma máquina térmica é a fração do calor absorvido que é convertido em trabalho. A fórmula é
\eta=\frac{W}{Q_{h}}.
Aqui W é o trabalho entregue por ciclo e Q_{h} é o calor absorvido do reservatório quente. Ambas as quantidades estão em joules, então a razão é adimensional. Agora aplicamos os valores dados:
\eta=\frac{200}{1000}.
Calculemos isso passo a passo: \dfrac{200}{1000}=0,2. Em porcentagem, \eta=0,2 corresponde a 20\%. Isto responde o item (a).

Passo 3

Antes de calcular entropias, vamos encontrar o calor rejeitado para o reservatório frio. Pela conservação de energia para cada ciclo (primeira lei da termodinâmica para ciclo fechado),
Q_{h}=W+Q_{c},
onde Q_{c} é o calor rejeitado ao reservatório frio. Isolando Q_{c}:
Q_{c}=Q_{h}-W.
Substituindo os números:
Q_{c}=1000-200=800\\ \text{J}.
Guarde essa quantidade; vamos usá-la para calcular entropias.

Passo 4

Agora a entropia. Conceito e fórmula: para um reservatório térmico que troca um pequeno calor reversivelmente Q à temperatura constante T, a variação de entropia é
\Delta S=\frac{Q_{\text{trocado}}}{T},
com sinal positivo se o reservatório recebe calor e negativo se perde calor. Aqui tratamos os reservatórios como fontes a temperaturas constantes e assumimos que as variações de calor ocorrem a essas temperaturas constantes, então podemos usar a fórmula direta.
  • Variação de entropia do reservatório quente: ele perde Q_{h}, logo
\Delta S_{h}=-\frac{Q_{h}}{T_{h}}=-\frac{1000}{400}.
Calcule: -\dfrac{1000}{400}=-2,5\\ \text{J/K}.
  • Variação de entropia do reservatório frio: ele recebe Q_{c}, logo
\Delta S_{c}=+\frac{Q_{c}}{T_{c}}=\frac{800}{200}.
Calcule: \dfrac{800}{200}=4,0\\ \text{J/K}.
  • A máquina opera em ciclo, por isso a sua variação de entropia é \Delta S_{\text{máquina}}=0á. Assim a variação total (universo = máquina + reservatórios) é
\Delta S_{u}=\Delta S_{h}+\Delta S_{c}=-2,5+4,0=1,5\\ \text{J/K}.
Observação física: \Delta S_{u}>0 indica irreversibilidade (a máquina real gera entropia).

Passo 5

Rendimento de Carnot (conceito): entre duas temperaturas fixas T_{h} e T_{c}, a máquina reversível ideal (Carnot) atinge o rendimento máximo possível. A fórmula é
\eta_{\text{Carnot}}=1-\frac{T_{c}}{T_{h}}.
Substituindo T_{h}=400\\ \text{K} e T_{c}=200\\ \text{K}:
\eta_{\text{Carnot}}=1-\frac{200}{400}=1-\tfrac{1}{2}=0,5.
Em porcentagem, isso é 50\%. Isso responde o item (c).

Passo 6

Trabalho de um motor de Carnot que absorve o mesmo Q_{h}: para um motor reversível, o trabalho por ciclo é simplesmente
W_{\text{Carnot}}=\eta_{\text{Carnot}}\,Q_{h}.
Substituindo \eta_{\text{Carnot}}=0,5 e Q_{h}=1000\\ \text{J}:
W_{\text{Carnot}}=0,5\times 1000=500\\ \text{J}.
Também podemos obter o calor rejeitado do Carnot: Q_{c,\text{Carnot}}=Q_{h}-W_{\text{Carnot}}=1000-500=500\\ \text{J}. Isso responde o item (d).

Passo 7

Agora vamos demonstrar a identidade pedida e verificar numericamente, isto é, mostrar que
W_{\text{Carnot}}-W = T_{c}\,\Delta S_{u}.
Demonstração algébrica geral (passo a passo):
  • Escrevemos \Delta S_{u} em termos dos calores trocados:
\Delta S_{u}=\frac{Q_{c}}{T_{c}}-\frac{Q_{h}}{T_{h}}.
Essa expressão veio de \Delta S_{c}=Q_{c}/T_{c} e \Delta S_{h}=-Q_{h}/T_{h}.
  • Para o motor de Carnot reversível, o rendimento é \eta_{\text{Carnot}}=1-\dfrac{T_{c}}{T_{h}}, então
W_{\text{Carnot}}=\left(1-\frac{T_{c}}{T_{h}}\right)Q_{h}=Q_{h}-\frac{T_{c}}{T_{h}}\,Q_{h}.
  • A máquina real tem trabalho W=Q_{h}-Q_{c} (energia conservada por ciclo).
  • A diferença é então
W_{\text{Carnot}}-W=\left(Q_{h}-\frac{T_{c}}{T_{h}}Q_{h}\right)-\left(Q_{h}-Q_{c}\right).
Simplificando termos Q_{h}:
W_{\text{Carnot}}-W=-\frac{T_{c}}{T_{h}}Q_{h}+Q_{c}.
Colocando T_{c} fator comum:
W_{\text{Carnot}}-W=T_{c}\left(\frac{Q_{c}}{T_{c}}-\frac{Q_{h}}{T_{h}}\right).
Mas o parêntese é exatamente \Delta S_{u}, logo
W_{\text{Carnot}}-W=T_{c}\,\Delta S_{u},
o que é a identidade requerida.
Verificação numérica usando os valores que já calculamos:
  • Lado esquerdo: W_{\text{Carnot}}-W=500-200=300\\ \text{J}.
  • Lado direito: T_{c}\,\Delta S_{u}=200\times 1,5=300\\ \text{J}.
Portanto a igualdade é verificada numericamente. Físicamente isso mostra que a “perda” de trabalho em relação ao máximo reversível está diretamente ligada à entropia gerada multiplicada pela temperatura do reservatório frio — ou seja, entropia gerada a temperatura T_{c} custa energia disponível igual a T_{c}\Delta S_{u}.

Resposta

(a) \eta=0,2=20\%
(b) \Delta S_{u}=1,5\\ \text{J/K}
(c) \eta_{\text{Carnot}}=0,5=50\%
(d) W_{\text{Carnot}}=500\\ \text{J}
(e) W_{\text{Carnot}}-W=T_{c}\,\Delta S_{u}=300\\ \text{J}

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