Uma máquina opera entre 400 K e 200 K . Ela absorve 1000 J de calor do reservatório quente e efetua 200 J de trabalho por ciclo. (a) Qual o rendimento desta máquina? (b) Qual a variação de entropia do universo? (c) Qual o rendimento de Carnot para essas temperaturas? (d) Qual o trabalho de Carnot para o mesmo calor absorvido? (e) Mostrar que a diferença entre o trabalho de Carnot e o trabalho da máquina real é igual a
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz as perguntas abaixo:
-
Dados fornecidos:
- Temperatura do reservatório quente:
. - Temperatura do reservatório frio:
. - Calor absorvido do reservatório quente por ciclo:
. - Trabalho realizado pela máquina por ciclo:
.
- Temperatura do reservatório quente:
-
O enunciado pede:
(a) O rendimento da máquina real.
(b) A variação de entropia do universo por ciclo.
(c) O rendimento de Carnot entre essas temperaturas.
(d) O trabalho que um motor de Carnot realizaria se absorvesse o mesmo.
(e) Mostrar quea diferença entre o trabalho de Carnot e o trabalho da máquina real é igual a e verificar numericamente.
Passo 2
Primeiro conceito importante: rendimento (eficiência) de uma máquina térmica é a fração do calor absorvido que é convertido em trabalho. A fórmula é
Aqui
é o trabalho entregue por ciclo e
é o calor absorvido do reservatório quente. Ambas as quantidades estão em joules, então a razão é adimensional. Agora aplicamos os valores dados:
Calculemos isso passo a passo:
. Em porcentagem,
corresponde a
. Isto responde o item (a).
Passo 3
Antes de calcular entropias, vamos encontrar o calor rejeitado para o reservatório frio. Pela conservação de energia para cada ciclo (primeira lei da termodinâmica para ciclo fechado),
onde
é o calor rejeitado ao reservatório frio. Isolando
:
Substituindo os números:
Guarde essa quantidade; vamos usá-la para calcular entropias.
Passo 4
Agora a entropia. Conceito e fórmula: para um reservatório térmico que troca um pequeno calor reversivelmente
à temperatura constante
, a variação de entropia é
com sinal positivo se o reservatório recebe calor e negativo se perde calor. Aqui tratamos os reservatórios como fontes a temperaturas constantes e assumimos que as variações de calor ocorrem a essas temperaturas constantes, então podemos usar a fórmula direta.
- Variação de entropia do reservatório quente: ele perde
, logo
Calcule:
- Variação de entropia do reservatório frio: ele recebe
, logo
Calcule:
- A máquina opera em ciclo, por isso a sua variação de entropia é
. Assim a variação total (universo = máquina + reservatórios) é
Observação física:
indica irreversibilidade (a máquina real gera entropia).
Passo 5
Rendimento de Carnot (conceito): entre duas temperaturas fixas
e
, a máquina reversível ideal (Carnot) atinge o rendimento máximo possível. A fórmula é
Substituindo
e
:
Em porcentagem, isso é
. Isso responde o item (c).
Passo 6
Trabalho de um motor de Carnot que absorve o mesmo
: para um motor reversível, o trabalho por ciclo é simplesmente
Substituindo
e
:
Também podemos obter o calor rejeitado do Carnot:
. Isso responde o item (d).
Passo 7
Agora vamos demonstrar a identidade pedida e verificar numericamente, isto é, mostrar que
Demonstração algébrica geral (passo a passo):
- Escrevemos
em termos dos calores trocados:
Essa expressão veio de
e
.
- Para o motor de Carnot reversível, o rendimento é
, então
-
A máquina real tem trabalho
(energia conservada por ciclo). -
A diferença é então
Simplificando termos
:
Colocando
fator comum:
Mas o parêntese é exatamente
, logo
o que é a identidade requerida.
Verificação numérica usando os valores que já calculamos:
- Lado esquerdo:
- Lado direito:
Portanto a igualdade é verificada numericamente. Físicamente isso mostra que a “perda” de trabalho em relação ao máximo reversível está diretamente ligada à entropia gerada multiplicada pela temperatura do reservatório frio — ou seja, entropia gerada a temperatura
custa energia disponível igual a
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(b)
(c)
(d)
(e)