Uma máquina de corte a laser produz componentes metálicos de alta precisāo. Sabe-se que a probabilidade do corte de um componente apresentar imperfeição é de
, e o corte de cada componente é independente dos demais. O setor de qualidade separa um lote para uma análise profunda assim que a segunda peça com imperfeição é encontrada na esteira de produção.
A empresa está avaliando adquirir uma nova máquina. Segundo o fabricante, a nova máquina produz componentes com imperfeição com
. Supondo que o corte de cada componente ocorre de forma independente dos demais, calcule a probabilidade de serem encontradas exatamente 4 peças com imperfeição em um lote de 500 peças. Use a aproximação pela distribuiçāo de Poisson.
A empresa está avaliando adquirir uma nova máquina. Segundo o fabricante, a nova máquina produz componentes com imperfeição com
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Foi dada a probabilidade de imperfeição da nova máquina:
. - Cada peça é independente das demais.
- O lote tem
peças. - A pergunta: calcular a probabilidade de serem encontradas exatamente
peças com imperfeição em um lote de peças, usando a aproximação pela distribuição de Poisson.
Passo 2
Modelagem exata (Binomial) — explicando o que seria a resposta sem aproximação.
Se a cada peça tem probabilidade
de “sucesso” (aqui, imperfeição), e há
peças independentes, o número de peças imperfeitas
segue a distribuição binomial
com função de probabilidade
onde:
-
é o número total de ensaios (aqui ); -
é a probabilidade de sucesso em cada ensaio (aqui ); -
é o número de sucessos que queremos (aqui ); -
é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher sucessos entre ensaios).
Essa fórmula é a forma exata, mas calcular
pode ser pesado sem tabelas/algoritmo. Por isso usamos uma aproximação adequada.
Passo 3
Quando é razoável usar a aproximação de Poisson?
A aproximação de Poisson à binomial é boa quando:
-
é grande, -
é pequeno, - e a média
é moderada (não muito grande).
Aqui
é grande,
é pequeno, então a condição é satisfeita. Calculamos a média esperada:
Passo 4
Definição da distribuição de Poisson e motivo da aproximação.
Se
segue aproximadamente uma Poisson com parâmetro
, escrevemos
e a função de probabilidade é
onde:
-
é a média (e também a variância) da distribuição; -
é o fatorial de .
No nosso caso usamos
e
.
Passo 5
Aplicando a fórmula de Poisson para
.
Escrevendo a probabilidade que queremos:
Agora calculamos passo a passo:
logo
Passo 6
Cálculo numérico final (aproximação decimal).
Usando
(valor conhecido/tabulado),
Arredondando de forma prática para quatro casas decimais:
isto é, cerca de
.