Uma máquina de corte a laser produz componentes metálicos de alta precisāo. Sabe-se que a probabilidade do corte de um componente apresentar imperfeição é de p=0,4, e o corte de cada componente é independente dos demais. O setor de qualidade separa um lote para uma análise profunda assim que a segunda peça com imperfeição é encontrada na esteira de produção.
A empresa está avaliando adquirir uma nova máquina. Segundo o fabricante, a nova máquina produz componentes com imperfeição com p=0,01. Supondo que o corte de cada componente ocorre de forma independente dos demais, calcule a probabilidade de serem encontradas exatamente 4 peças com imperfeição em um lote de 500 peças. Use a aproximação pela distribuiçāo de Poisson.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Foi dada a probabilidade de imperfeição da nova máquina: p=0,01.
  • Cada peça é independente das demais.
  • O lote tem n=500 peças.
  • A pergunta: calcular a probabilidade de serem encontradas exatamente 4 peças com imperfeição em um lote de 500 peças, usando a aproximação pela distribuição de Poisson.

Passo 2

Modelagem exata (Binomial) — explicando o que seria a resposta sem aproximação.
Se a cada peça tem probabilidade p de “sucesso” (aqui, imperfeição), e há n peças independentes, o número de peças imperfeitas X segue a distribuição binomial
X \sim \mathrm{Bin}(n,p)
com função de probabilidade
P(X=k)=\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k},
onde:
  • n é o número total de ensaios (aqui n=500);
  • p é a probabilidade de sucesso em cada ensaio (aqui p=0,01);
  • k é o número de sucessos que queremos (aqui k=4);
  • \binom{n}{k} é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher k sucessos entre n ensaios).
Essa fórmula é a forma exata, mas calcular \binom{500}{4} (0,01)^4 (0,99)^{496} pode ser pesado sem tabelas/algoritmo. Por isso usamos uma aproximação adequada.

Passo 3

Quando é razoável usar a aproximação de Poisson?
A aproximação de Poisson à binomial é boa quando:
  • n é grande,
  • p é pequeno,
  • e a média \lambda=n p é moderada (não muito grande).
Aqui n=500 é grande, p=0,01 é pequeno, então a condição é satisfeita. Calculamos a média esperada:
\lambda = n p = 500 \times 0,01 = 5.

Passo 4

Definição da distribuição de Poisson e motivo da aproximação.
Se X segue aproximadamente uma Poisson com parâmetro \lambda, escrevemos
X \sim \mathrm{Poisson}(\lambda),
e a função de probabilidade é
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!},
onde:
  • \lambda é a média (e também a variância) da distribuição;
  • k! é o fatorial de k.
No nosso caso usamos \lambda=5 e k=4.

Passo 5

Aplicando a fórmula de Poisson para k=4.
Escrevendo a probabilidade que queremos:
P(X=4)=e^{-5}\frac{5^{4}}{4!}.
Agora calculamos passo a passo:
5^{4}=5\cdot5\cdot5\cdot5=625,
4! = 4\cdot3\cdot2\cdot1=24,
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\frac{5^{4}}{4!}=\frac{625}{24}\approx 26{,}041666\ldots

Passo 6

Cálculo numérico final (aproximação decimal).
Usando e^{-5}\approx 0{,}006737947 (valor conhecido/tabulado),
P(X=4)\approx 0{,}006737947 \times 26{,}041666\ldots \approx 0{,}17546737.
Arredondando de forma prática para quatro casas decimais:
P(X=4)\approx 0{,}1755,
isto é, cerca de 17{,}55\%.

Resposta

0,1755

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