Mostre que se
são independentes, então
e independente de
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que se os eventos $ A $, $ B $ e $ C $ são independentes, então a interseção de $ A $ e $ B $ (ou seja, $ A \cap B $) também é independente de $ C $. Vamos usar conceitos de probabilidade e independência para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que eventos são independentes. Eventos $ A $, $ B $ e $ C $ são independentes se a probabilidade de qualquer combinação deles acontecer simultaneamente é igual ao produto das probabilidades individuais. Ou seja:
Passo 3
Agora, queremos mostrar que $ A \cap B $ é independente de $ C $. Para isso, precisamos verificar se:
Passo 4
Vamos calcular $ P((A \cap B) \cap C) $. Isso é equivalente a $ P(A \cap B \cap C) $, que, como os eventos são independentes, é:
Passo 5
Agora, calculamos $ P(A \cap B) $. Como $ A $ e $ B $ são independentes:
Passo 6
Substituindo $ P(A \cap B) $ na equação que queríamos verificar:
Resposta
Portanto, mostramos que $ A \cap B $ e $ C $ são independentes, já que $ P((A \cap B) \cap C) = P(A \cap B) \cdot P© $.