Mostre que se A, B, C são independentes, então
A cap B e independente de C;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que se os eventos $ A $, $ B $ e $ C $ são independentes, então a interseção de $ A $ e $ B $ (ou seja, $ A \cap B $) também é independente de $ C $. Vamos usar conceitos de probabilidade e independência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que eventos são independentes. Eventos $ A $, $ B $ e $ C $ são independentes se a probabilidade de qualquer combinação deles acontecer simultaneamente é igual ao produto das probabilidades individuais. Ou seja:
A

Passo 3

Agora, queremos mostrar que $ A \cap B $ é independente de $ C $. Para isso, precisamos verificar se:
A cap B

Passo 4

Vamos calcular $ P((A \cap B) \cap C) $. Isso é equivalente a $ P(A \cap B \cap C) $, que, como os eventos são independentes, é:
P((A cap B) cap C)

Passo 5

Agora, calculamos $ P(A \cap B) $. Como $ A $ e $ B $ são independentes:
P(A cap B)

Passo 6

Substituindo $ P(A \cap B) $ na equação que queríamos verificar:
P(A cap B)

Resposta

Portanto, mostramos que $ A \cap B $ e $ C $ são independentes, já que $ P((A \cap B) \cap C) = P(A \cap B) \cdot P© $.

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