Suponha que há uma certa variável aleatória X, cuja distribuição sabe-se ser normal com desvio padrão 2. Queremos estimar a sua média, então coletamos uma amostra de tamanho 20 , e obtemos média amostral \bar{X}=120. Determine um intervalo de confiança para a média, com coeficiente de confiança igual a 95 \%.

Passo 1

O enunciado define uma variável aleatória X\sim N(\mu,\sigma^2) com desvio padrão conhecido \sigma=2. A partir de uma amostra de tamanho n=20, obtivemos a média amostral \bar X=120. Queremos um intervalo de confiança para \mu com nível de confiança 95\%. Como \sigma é conhecido, usaremos o intervalo baseado na distribuição normal padrão.

Passo 2

Para nível de confiança 1-\alpha=0,95 precisamos do quantil \displaystyle z_{1-\frac{\alpha}{2}}=z_{0,975} da normal padrão, que satisfaz
P\bigl(-z_{0,975}\le Z \le z_{0,975}\bigr)=0,95.
Na tabela da normal padrão temos
z_{0,975}\approx 1,96.

Passo 3

O erro padrão da média é
\mathrm{EP}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{20}}.
Logo, a margem de erro é
E = z_{0,975}\,\mathrm{EP} =1,96\cdot\frac{2}{\sqrt{20}} \approx1,96\cdot0,4472 \approx0,8765.

Passo 4

O intervalo de confiança simétrico em torno de \bar X é
\bigl[\bar X - E,\;\bar X + E\bigr] =\bigl[120 - 0,8765,\;120 + 0,8765\bigr] \approx[119,12,\;120,88].

Resposta

O intervalo de confiança para \mu, com 95\% de confiança, é aproximadamente
[119,12,\;120,88].

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