Uma máquina fabrica chapas de metal com espessura média de 8 mm e desvio padrão de 0,3 mm. Verifica-se que 4 % das chapas estão sendo rejeitadas por estarem muito espessas e 9 % por estarem pouco espessas. Admitindo que a espessura dessas chapas segue distribuição normal, obtenha (de maneira aproximada) as tolerâncias de especificação para essa variável.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma máquina que fabrica chapas de metal com uma espessura média de 8 mm e um desvio padrão de 0,3 mm. Sabemos que 4% das chapas são rejeitadas por estarem muito espessas e 9% por estarem muito finas. A parada é que a espessura dessas chapas segue uma distribuição normal. O que a gente precisa encontrar são as “tolerâncias de especificação”, ou seja, os limites mínimo e máximo de espessura que a chapa pode ter para não ser rejeitada.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estatística relacionados à distribuição normal, como os valores z (ou scores z) que nos ajudam a relacionar as porcentagens com os valores da nossa distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que na distribuição normal, os valores são distribuídos simetricamente em torno da média. O desvio padrão ( sigma) nos diz o quanto os valores tendem a se afastar da média.
Sabemos que 4% das chapas são rejeitadas por estarem muito espessas. Isso significa que queremos encontrar o valor de espessura que corresponde ao percentil de 96% (100% - 4%) na distribuição normal. Esse valor será o limite máximo de especificação.

Passo 3

Da mesma forma, 9% das chapas são rejeitadas por estarem muito finas. Então, queremos encontrar o valor de espessura que corresponde ao percentil de 9% na distribuição normal, que será o limite mínimo de especificação.

Passo 4

Para encontrar esses valores, vamos usar a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora que forneça os valores z correspondentes aos percentis desejados.
Para o limite máximo (96%):
Procuramos o valor z que acumula 0,96 na distribuição normal padrão. Esse valor z é aproximadamente 1,75.
Para o limite mínimo (9%):
Procuramos o valor z que acumula 0,09. Esse valor z é aproximadamente -1,34.

Passo 5

Agora que temos os valores z, vamos relacioná-los com a nossa distribuição específica usando a fórmula de transformação:
X = mu + z cdot sigma
Onde:
  • X é o limite de espessura que queremos encontrar,
  • mu é a média ( 8 mm),
  • z é o valor z correspondente,
  • sigma é o desvio padrão ( 0,3 mm).

Passo 6

Calculando o limite máximo:
Xmáximo = 8 + 1,75 times 0,3 = 8 + 0,525 = 8,525 mm á
Calculando o limite mínimo:
Xmínimo = 8 + (-1,34) times 0,3 = 8 - 0,402 = 7,598 mm í

Resposta

As tolerâncias de especificação para a espessura das chapas são aproximadamente de 7,60 mm a 8,53 mm.

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