Uma máquina de massa m=25 \mathrm{~kg} é colocada sobre uma base elástica. Quando uma força senoidal de magnitude F=25 \mathrm{~N} foi aplicada à máquina, observou-se que a amplitude máxima da oscilação em regime estacionário foi de A_{\max }=1,3 \mathrm{~mm} e o período da resposta foi T=0,22 \mathrm{~s}. Determine a razão de amortecimento e a rigidez equivalente do sistema.
Observação: O módulo da função de resposta em frequência não apresenta um pico para sistemas com \zeta>1 / \sqrt{2}.

Passo 1

O sistema é uma massa m apoiada numa mola com amortecimento viscoso submetida a força harmônica de amplitude F_0. O enunciado dá
m = 25\\ \mathrm{kg},\quad F_0 = 25\\ \mathrm{N},\quad A_{\max} = 1{,}3\\ \mathrm{mm},\quad T = 0{,}22\\ \mathrm{s}.
Queremos a razão de amortecimento \zeta e a rigidez equivalente k. Para isso vamos usar a função de resposta em frequência (FRF) de um sistema massa-mola-amortecedor e as condições de pico de amplitude para \zeta<1/\sqrt{2}.

Passo 2

Calculamos a pulsação da excitação no pico de amplitude:
\omega_p = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0{,}22}\approx 28{,}54\\ \mathrm{rad/s}.
Definimos a frequência natural \omega_n=\sqrt{k/m} e a razão normalizada r=\omega/\omega_n.

Passo 3

Para \zeta<1/\sqrt{2} a FRF em módulo tem pico em
r_p = \sqrt{1-2\zeta^2},
logo na condição de pico \omega_p = r_p\,\omega_n. Assim,
\omega_n = \frac{\omega_p}{\sqrt{1-2\zeta^2}} \quad\Longrightarrow\quad k = m\,\omega_n^2 = \frac{m\,\omega_p^2}{1-2\zeta^2}.

Passo 4

O valor máximo da amplitude em regime estacionário é
A_{\max} = \frac{F_0}{k}\; \frac{1}{\sqrt{(1-r_p^2)^2 + (2\zeta\,r_p)^2}} =\frac{F_0}{k}\,\frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}},
onde usamos r_p=\sqrt{1-2\zeta^2}. Substituindo k de cima e A_{\max}=0{,}0013\\ \mathrm{m} temos a equação em \zeta:
0{,}0013 = \frac{25}{\frac{25\,\omega_p^2}{1-2\zeta^2}} \;\frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}} \;\Longrightarrow\; 52{,}95\,\zeta\sqrt{1-\zeta^2}=25-50\,\zeta^2.

Passo 5

Quadrando ambos os lados e reorganizando, chega-se à equação quártica em x=\zeta^2:
x^2 - x + 0{,}11785 = 0,
cujas raízes são x_1\approx0{,}8636 e x_2\approx0{,}1364. Como precisamos de \zeta<1/\sqrt{2}\approx0{,}707, escolhemos
\zeta = \sqrt{x_2} \approx \sqrt{0{,}1364} = 0{,}369.

Passo 6

Finalmente, a rigidez k segue de
k = \frac{m\,\omega_p^2}{1-2\zeta^2} = \frac{25\,(28{,}54)^2}{1 - 2\,(0{,}369)^2} \approx 2{,}80\times10^{4}\\ \mathrm{N/m}.

Resposta

\displaystyle \zeta\approx0{,}37,\quad k\approx2{,}8\times10^{4}\\ \mathrm{N/m}.

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