Uma máquina produz 5 % de peças defeituosas. Numa amostra de 100 peças por ela fabricadas, qual a probabilidade de não haver mais de uma peça com defeito? (R: 3,705%)

Passo 1

O enunciado diz que a máquina produz 5% de peças defeituosas. Em uma amostra de 100 peças, queremos a probabilidade de não haver mais de uma peça com defeito. O conteúdo aqui é distribuição binomial: vamos usar uma variável aleatória Xsim Binomial(n,p) com n=100 e p=0,05, e calcular Pr(X<=1).

Passo 2

A fórmula da probabilidade binomial é
Pr(X=k)=binomnk,p^k,(1-p)^,n-k
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Pr(X<=1)=Pr(X=0)+Pr(X=1)

Passo 3

Calculando Pr(X=0):
Pr(X=0)=(1-p)^n=0,95^100
Para aproximar, usamos ln(0,95^100)=100ln(0,95)approx -5,1293, daí
0,95^100approx e^-5,1293approx0,00592

Passo 4

Calculando Pr(X=1):
Pr(X=1)=binom1001,0,05^1,0,95^99 =100cdot0,05cdot0,95^99 =5cdot0,95^99
Como 0,95^99=0,95^100/0,95approx0,00592/0,95approx0,00623, temos
Pr(X=1)approx5times0,00623approx0,03116

Passo 5

Somando as duas probabilidades:
Pr(X<=1)approx0,00592+0,03116=0,03708
Em porcentagem isso é 3,708%, que ao arredondar dá aproximadamente 3,705%.

Resposta

A probabilidade de não haver mais de uma peça defeituosa é aproximadamente 3,705%.

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