Um novo produto para detectar a hepatite está para ser lançado no mercado. O laboratório ainda não tem certeza da eficácia do teste. Antes de lançar o produto testou-o com um grupo de pessoas para estudar as probabilidades de ter resultados corretos e incorretos (falso positivo e falso negativo). No grupo há 10 % de pessoas realmente doentes. Sabe-se que a probabilidade de o teste dar positivo quando a pessoa está doente é de 99% e a probabilidade de dar negativo quando a pessoa não está doente é de 90%. A partir dessas informações:
Se der negativo qual a probabilidade de o indivíduo estar saudável?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um teste novo para detectar hepatite que está prestes a sair no mercado. O laboratório quer saber quão eficaz esse teste é antes de lançá-lo. Para isso, eles fizeram alguns experimentos e descobriram algumas probabilidades importantes: 10% das pessoas no grupo realmente estão doentes, o teste tem 99% de chance de dar positivo se a pessoa está doente, e 90% de chance de dar negativo se a pessoa não está doente. Nosso desafio aqui é descobrir: Se o teste der negativo, qual a probabilidade de a pessoa realmente estar saudável?
Esse tipo de problema faz parte da probabilidade condicional e vamos usar o Teorema de Bayes para resolver. Vamos precisar entender bem essas probabilidades e como elas se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos definir os eventos que vamos usar:
  • D: A pessoa está doente.
  • ¬D: A pessoa não está doente (saudável).
  • T+: O teste dá positivo.
  • T−: O teste dá negativo.
Agora, vamos listar as probabilidades que temos:
  • P(D) = 10% = 0,10: Probabilidade de uma pessoa estar doente.
  • P(¬D) = 90% = 0,90: Probabilidade de uma pessoa estar saudável.
  • P(T+ | D) = 99% = 0,99: Probabilidade do teste dar positivo se a pessoa está doente (sensibilidade).
  • P(T− | ¬D) = 90% = 0,90: Probabilidade do teste dar negativo se a pessoa está saudável (especificidade).

Passo 3

Queremos encontrar P(¬D | T−), que é a probabilidade de a pessoa estar saudável dado que o teste deu negativo. Para isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que diz:
P(¬D | T−) = P(T− | ¬D) times P(¬D)P(T−)
Mas primeiro, precisamos calcular P(T−), que é a probabilidade total do teste dar negativo. Isso inclui duas situações:
  1. A pessoa está doente e o teste deu negativo.
  2. A pessoa está saudável e o teste deu negativo.
Então,
P(T−) = P(T− | D) times P(D) + P(T− | ¬D) times P(¬D)

Passo 4

Vamos calcular cada parte:
  1. P(T− | D): Probabilidade do teste dar negativo se a pessoa está doente. Como P(T+ | D) = 0,99, então:
P(T− | D) = 1 - P(T+ | D) = 1 - 0,99 = 0,01
  1. Agora, calculando P(T−):
P(T−) = (0,01) times (0,10) + (0,90) times (0,90) = 0,001 + 0,81 = 0,811
  1. Finalmente, aplicando o Teorema de Bayes:
P(¬D | T−) = 0,90 times 0,900,811 = 0,810,811 approx 0,999

Resposta

A probabilidade de o indivíduo estar saudável, dado que o teste deu negativo, é de aproximadamente 99,9%.

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