Uma máquina térmica opera com 2 mol de um gás ideal. O ciclo consiste em uma expansão isotérmica a 250 K, que vai dos volumes V1 até V2, seguida de uma expansão adiabática até o volume V3, uma compressão isotérmica até o volume V4 e uma compressão adiabática até o ponto inicial, fechando o ciclo. Se um ciclo dura 5s, e considere V1 = (1/3)V2. (a) Calcule a eficiência da máquina térmica. (b) Calcule a potência da máquina térmica e relacione-a com o item (a).

Passo 1

O enunciado descreve um ciclo reversível de um gás ideal (modelo de Carnot) com 2 mol, que passa por:
  1. Expansão isotérmica a T_H=250\rm\\ K de V_1 até V_2 (com V_1=\tfrac{1}{3}V_2).
  2. Expansão adiabática de V_2 até V_3.
  3. Compressão isotérmica a T_C de V_3 até V_4.
  4. Compressão adiabática de V_4 de volta a V_1.
    O ciclo leva \tau=5\rm\\ s.
    Conteúdo: máquinas de Carnot, eficiência térmica, calor trocado na isoterma e potência.

Passo 2

Para qualquer ciclo reversível com duas isotermas a T_H e T_C temos
e \;=\;1 \;-\;\frac{T_C}{T_H}.
Mas a temperatura fria T_C vem da adiabática que liga o ponto final da isotérmica quente ao início da isotérmica fria. Pela relação adiabática
T_H\,V_2^{\,\gamma-1} \;=\;T_C\,V_3^{\,\gamma-1} \quad\Longrightarrow\quad T_C \;=\;T_H\biggl(\frac{V_2}{V_3}\biggr)^{\gamma-1}.
Substituindo em e, encontra-se
\boxed{ e \;=\;1 - \Bigl(\tfrac{V_2}{V_3}\Bigr)^{\gamma-1} }.

Passo 3

Na etapa 1 (isotérmica quente) o gás recebe calor
Q_{\rm in} =\int_{V_1}^{V_2}\!p\,dV =\int_{V_1}^{V_2}\!\frac{nRT_H}{V}\,dV =nR\,T_H\,\ln\!\Bigl(\tfrac{V_2}{V_1}\Bigr).
Como n=2, T_H=250\rm\\ K e V_2/V_1=3, temos
Q_{\rm in} =2\,R\,(250)\,\ln 3 \approx 2\cdot 8{,}314\cdot 250\cdot1{,}0986 \approx 4{,}565\rm\\ J.

Passo 4

O trabalho líquido por ciclo é
W =e\,Q_{\rm in}.
Como cada ciclo dura \tau=5\rm\\ s, a potência média é
P =\frac{W}{\tau} =\frac{e\,Q_{\rm in}}{\tau} =e\;\frac{4\,565\rm\\ J}{5\rm\\ s} \approx 913\,e\quad(\rm W).
Logo, a potência cresce linearmente com a eficiência, ou seja, quanto maior e, maior P.

Resposta

(a) \displaystyle e=1-\bigl(V_2/V_3\bigr)^{\gamma-1}.
(b) \displaystyle P=\frac{e\,nR\,T_H\,\ln(V_2/V_1)}{\tau}\approx 913\,e\rm\\ W, mostrando que P\propto e.

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