Uma máquina térmica passa por um ciclo de carnot de 427^circ C para 227^circ C. A pressão inicial é de 308,7 Psi, e durante a expansão isotérmica o volume triplica. O gás é um monoatômico e tem-se 5 mols desse gás. Pede-se o De, o Q e o W e m cada processo e o total.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre uma máquina térmica que opera em um ciclo de Carnot. O enunciado nos dá algumas informações importantes: as temperaturas nos dois reservatórios (427°C e 227°C), a pressão inicial (308,7 Psi), o fato de que o volume triplica durante a expansão isotérmica, e que temos 5 mols de um gás monoatômico. Vamos precisar usar conceitos de termodinâmica relacionados aos ciclos de Carnot, energia interna ( De), calor ( Q) e trabalho ( W) em processos isotérmicos e adiabáticos.

Passo 2

Primeiro, precisamos converter as temperaturas de Celsius para Kelvin, porque nas equações de termodinâmica usamos Kelvin. A conversão é feita adicionando 273,15 à temperatura em Celsius.
T1 = 427 + 273,15 = 700,15 , K
T2 = 227 + 273,15 = 500,15 , K

Passo 3

Agora, vamos identificar os quatro processos do ciclo de Carnot:
  1. Isotérmico de alta temperatura (700,15 K): o gás se expande isotermicamente, ou seja, a temperatura permanece constante.
  2. Adiabático de alta para baixa temperatura: o gás se expande ou comprime sem troca de calor, diminuindo a temperatura para 500,15 K.
  3. Isotérmico de baixa temperatura (500,15 K): o gás é comprimido isotermicamente.
  4. Adiabático de baixa para alta temperatura: o gás retorna ao estado inicial sem troca de calor, aumentando a temperatura para 700,15 K.

Passo 4

Vamos calcular a variação da energia interna ( De) para cada processo. Para um gás monoatômico ideal, a variação da energia interna depende apenas da variação de temperatura:
De
Onde n é o número de mols (5 mols) e R é a constante dos gases (8,314 J/mol·K).
Nos processos isotérmicos, a temperatura não muda, então De e, consequentemente, De.
Nos processos adiabáticos, a temperatura muda, então vamos calcular De para esses.

Passo 5

Para o primeiro processo adiabático (de 700,15 K para 500,15 K):
De
Então,
De
Para o segundo processo adiabático (de 500,15 K para 700,15 K):
De
Então,
De

Passo 6

Agora, vamos calcular o calor ( Q) e o trabalho ( W) para cada processo.
Processos isotérmicos:
Em processos isotérmicos de expansão ou compressão, a variação da energia interna é zero ( De), então:
Q = W
Vamos usar a equação para trabalho em processos isotérmicos:
W = n R T ln(VfinalVinicial)
Sabemos que o volume triplica durante a expansão isotérmica:
VfinalVinicial = 3
Então,
W = 5 times 8,314 times 700,15 times ln(3) approx 5 times 8,314 times 700,15 times 1,0986 approx 31852 , J
Então, Q = 31852 , J.
No processo de compressão isotérmica (de 500,15 K), o volume é reduzido de 3 para 1, então:
W = 5 times 8,314 times 500,15 times ln(13) approx 5 times 8,314 times 500,15 times (-1,0986) approx -22707 , J
E Q = -22707 , J.
Processos adiabáticos:
Em processos adiabáticos, não há troca de calor ( Q = 0). Portanto, todo o trabalho é relacionado à variação da energia interna:
W = De
Para o primeiro processo adiabático:
W = -12471 , J
Para o segundo processo adiabático:
W = 12471 , J

Passo 7

Finalmente, vamos somar os valores para obter os totais do ciclo.
Variação total da energia interna ( De):
Como o ciclo retorna ao estado inicial, a variação total da energia interna é zero:
De
Calor total ( Qtotal):
Qtotal = 31852 , J - 22707 , J = 9145 , J
Trabalho total ( Wtotal):
Wtotal = 31852 , J - 22707 , J -12471 , J +12471 , J = 9145 , J

Resposta

A variação da energia interna ( De) para cada processo é:
  • Processos isotérmicos: De
  • Processos adiabáticos: De e De
O calor ( Q) para cada processo é:
  • Expansão isotérmica: Q = 31852 , J
  • Compressão isotérmica: Q = -22707 , J
  • Processos adiabáticos: Q = 0 , J
O trabalho ( W) para cada processo é:
  • Expansão isotérmica: W = 31852 , J
  • Compressão isotérmica: W = -22707 , J
  • Processos adiabáticos: W = -12471 , J e W = 12471 , J
No total, para o ciclo completo:
  • De
  • Qtotal = 9145 , J
  • Wtotal = 9145 , J

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