Uma máquina térmica passa por um ciclo de carnot de
para
. A pressão inicial é de 308,7 Psi, e durante a expansão isotérmica o volume triplica. O gás é um monoatômico e tem-se 5 mols desse gás. Pede-se o
, o Q e o
cada processo e o total.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre uma máquina térmica que opera em um ciclo de Carnot. O enunciado nos dá algumas informações importantes: as temperaturas nos dois reservatórios (427°C e 227°C), a pressão inicial (308,7 Psi), o fato de que o volume triplica durante a expansão isotérmica, e que temos 5 mols de um gás monoatômico. Vamos precisar usar conceitos de termodinâmica relacionados aos ciclos de Carnot, energia interna (
), calor (
) e trabalho (
) em processos isotérmicos e adiabáticos.
Passo 2
Primeiro, precisamos converter as temperaturas de Celsius para Kelvin, porque nas equações de termodinâmica usamos Kelvin. A conversão é feita adicionando 273,15 à temperatura em Celsius.
Passo 3
Agora, vamos identificar os quatro processos do ciclo de Carnot:
- Isotérmico de alta temperatura (700,15 K): o gás se expande isotermicamente, ou seja, a temperatura permanece constante.
- Adiabático de alta para baixa temperatura: o gás se expande ou comprime sem troca de calor, diminuindo a temperatura para 500,15 K.
- Isotérmico de baixa temperatura (500,15 K): o gás é comprimido isotermicamente.
- Adiabático de baixa para alta temperatura: o gás retorna ao estado inicial sem troca de calor, aumentando a temperatura para 700,15 K.
Passo 4
Vamos calcular a variação da energia interna (
) para cada processo. Para um gás monoatômico ideal, a variação da energia interna depende apenas da variação de temperatura:
Onde
é o número de mols (5 mols) e
é a constante dos gases (8,314 J/mol·K).
Nos processos isotérmicos, a temperatura não muda, então
e, consequentemente,
.
Nos processos adiabáticos, a temperatura muda, então vamos calcular
para esses.
Passo 5
Para o primeiro processo adiabático (de 700,15 K para 500,15 K):
Então,
Para o segundo processo adiabático (de 500,15 K para 700,15 K):
Então,
Passo 6
Agora, vamos calcular o calor (
) e o trabalho (
) para cada processo.
Processos isotérmicos:
Em processos isotérmicos de expansão ou compressão, a variação da energia interna é zero ( ), então:
Em processos isotérmicos de expansão ou compressão, a variação da energia interna é zero (
Vamos usar a equação para trabalho em processos isotérmicos:
Sabemos que o volume triplica durante a expansão isotérmica:
Então,
Então,
.
No processo de compressão isotérmica (de 500,15 K), o volume é reduzido de 3 para 1, então:
E
.
Processos adiabáticos:
Em processos adiabáticos, não há troca de calor ( ). Portanto, todo o trabalho é relacionado à variação da energia interna:
Em processos adiabáticos, não há troca de calor (
Para o primeiro processo adiabático:
Para o segundo processo adiabático:
Passo 7
Finalmente, vamos somar os valores para obter os totais do ciclo.
Variação total da energia interna (
):
Como o ciclo retorna ao estado inicial, a variação total da energia interna é zero:
Calor total (
):
Trabalho total (
):
Resposta
A variação da energia interna (
) para cada processo é:
- Processos isotérmicos:
- Processos adiabáticos:
e
O calor (
) para cada processo é:
- Expansão isotérmica:
- Compressão isotérmica:
- Processos adiabáticos:
O trabalho (
) para cada processo é:
- Expansão isotérmica:
- Compressão isotérmica:
- Processos adiabáticos:
e
No total, para o ciclo completo: