Uma máquina trabalha em base 8 . Se o contador mostra 77_{8}, qual é o valor correspondente em base 10 ?

Passo 1

O enunciado diz que uma máquina trabalha em base 8 e que o contador mostra 77_{8}. A pergunta é: qual o valor correspondente desse número em base 10? Informação relevante: o número dado é 77_{8}. Pedido: converter 77_{8} para base decimal (base 10).

Passo 2

Explicação do conceito importante (posicional): em qualquer base b, cada algarismo ocupa uma posição com peso igual a uma potência de b. Por exemplo, num número de duas casas ab (onde a é a casa das dezenas na base b e b a das unidades), o valor em decimal é
a\cdot b^{1} + b\cdot b^{0}.
Aqui cada símbolo multiplicado por b^{k} significa: o algarismo vezes a potência de b correspondente à sua posição (contando da direita para a esquerda, a posição 0 é as unidades, posição 1 é a próxima, etc.). Não se assuste: é só multiplicar cada dígito pela potência certa e somar.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso número 77_{8}: temos duas casas, ambas com algarismo 7. Assim o valor em decimal é
7\cdot 8^{1} + 7\cdot 8^{0}.

Passo 4

Agora calculamos cada termo. Primeiro as potências:
8^{1}=8,\qquad 8^{0}=1.
Multiplicando pelos algarismos:
7\cdot 8 = 56,
7\cdot 1 = 7.
Somando os resultados:
56 + 7 = 63.

Passo 5

Verificação rápida por outro método (conversão reversa): se eu pegar 63 em decimal e dividir por 8, vejo o resto:
63 \div 8 = 7\\ \text{quociente},\\ \text{resto}\\\ 7,
e 7\div 8 = 0 com resto 7. Lendo os restos de baixo para cima obtém-se 77_{8}, confirmando que 63_{10} corresponde a 77_{8}.

Passo 6

Dica prática para a prova: para converter de base b para decimal, sempre expanda o número como soma de algarismos vezes potências de b. Para números maiores faça isso para cada posição (unidades b^{0}, próximas b^{1}, b^{2}, etc.). Se quiser checar, converta o resultado decimal de volta para a base original usando divisões sucessivas.

Resposta

63

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