O maquinista de um trem, que se move com velocidade V1, vê a sua frente , a uma distância d, um trem de carga que se desloca sobre a mesma linha com uma velocidade V2 no mesmo sentido(módulo de V2 menor do que V1 ). Ele aciona os freios comunicando uma desaceleração de módulo a. Faça um gráfico dois movimentos. (a) Determine a condição para que não haja colisão, (b) suponha V1=2 V2, V1=120 km / h, d=100 m e a=2 m / s^2. Verifique se com esses dados ocorrerá ou não colisão

Passo 1

Beleza, vamo lá! O enunciado diz que um trem rápido (velocidade V1) vem atrás de um trem de carga mais lento ( V2, com V2<V1), separados por uma distância d. O trem de trás freia com desaceleração de módulo a.
Matéria envolvida: cinemática retilínea (MRU e MRUV). A gente vai usar:
  • MRU:
s(t) = s0 + v,t
  • MRUV (com desaceleração -a):
s(t) = s0 + v0,t - tfrac12,a,t^2
Tranquilo? Vamo desenrolar.

Passo 2

Olha só como modelar no gráfico espaço vs. tempo:
  1. Origem em no instante em que o trem rápido começa a frear.
  2. Trem rápido (MRUV, aceleração ):
 É uma parábola côncava pra baixo.  
  1. Trem lento (MRU):
 É uma reta de inclinação \(V_2\).  
Se as duas curvas se cruzam, rolou colisão.

Passo 3

Pra achar se cruzam, iguala s1(t)=s2(t):
V1,t - tfrac12,a,t^2 ;=; d + V2,t Longrightarrow tfraca2,t^2 ;-;(V1 - V2),t ;+; d ;=; 0
Isso é uma equação quadrática A,t^2 + B,t + C = 0 com
A=tfraca2, B=-(V1 - V2), C=d

Passo 4

Usamos o discriminante
De<a = B^2 - 4AC = (V1 - V2)^2 - 2,a,d
  • Se De<a<0: sem raízes reais → sem colisão.
  • Se De<a>=0: existe raiz positiva → colisão.
    Portanto, a condição para não haver colisão é
De<a<0 ;Longrightarrow; (V1 - V2)^2 - 2,a,d < 0 ;Longrightarrow; d > (V1 - V2)^22,a

Passo 5

Agora o item (b):
  • V1=120 km/h = 33,33 m/s
  • V2=tfracV12=60 km/h = 16,67 m/s
  • a=2 m/s²
  • d=100 m
A distância mínima é
dmin = (V1 - V2)^22a = (33,33 - 16,67)^22cdot2 = (16,66)^24 approx 69,39;m
Como 100 m > 69,39 m, o trem rápido para antes de alcançar o lento. Ou seja, não ocorre colisão.

Resposta

(a) Condição de não colisão:
d > (V1 - V2)^22,a
(b) Com os valores dados,
dminapprox69,4 m<100 m,
logo não há colisão.

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