Uma marca de chocolate faz uma promoção: alguns dos pacotes incluem vales que podem ser trocados por uma camiseta. O número de pacotes premiados que se vendem ao dia em uma loja é uma variável aleatória com distribuição de Poisson de parâmetro 0,3. Obtenha uma aproximação para a probabilidade de que em 120 dias se vendam nessa loja mais de 30 pacotes com prêmio.

Passo 1

Então, temos um problema onde uma marca de chocolate está fazendo uma promoção: alguns pacotes contêm vales que podem ser trocados por uma camiseta. A gente sabe que o número de pacotes premiados vendidos por dia em uma loja segue uma distribuição de Poisson com parâmetro lambda = 0,3. O que precisamos descobrir é a probabilidade de que, em 120 dias, sejam vendidos mais de 30 pacotes premiados nessa loja. Vamos usar conceitos de probabilidade e estatística, especialmente a distribuição de Poisson e sua aproximação pela distribuição normal quando o parâmetro lambda é grande.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos ocorrem com uma taxa média conhecida e de forma independente. No nosso caso, os eventos são as vendas de pacotes premiados por dia.

Passo 3

Como o parâmetro lambda da distribuição de Poisson é 0,3 por dia, para 120 dias, o parâmetro total lambdatotal será:
lambdatotal = 0,3 times 120 = 36
Então, estamos lidando com uma distribuição de Poisson com lambda = 36.

Passo 4

Quando o valor de lambda é grande, a distribuição de Poisson pode ser aproximada pela distribuição normal. Essa aproximação facilita os cálculos, já que a distribuição normal é mais familiar e tem tabelas amplamente disponíveis.

Passo 5

Para a distribuição normal, precisamos determinar a média ( mu) e o desvio padrão ( sigma). Na aproximação da Poisson pela normal:
mu = lambda = 36
sigma = raizlambda = raiz36 = 6

Passo 6

Queremos encontrar a probabilidade de que, em 120 dias, sejam vendidos mais de 30 pacotes premiados. Em termos da distribuição normal, isso é:
P(X > 30)
Onde X é o número de pacotes premiados.

Passo 7

Vamos padronizar essa variável para usar a tabela da distribuição normal padrão. Usamos a fórmula:
Z = X - musigma
Substituindo os valores:
Z = 30 - 366 = -66 = -1

Passo 8

Agora, queremos a probabilidade de X > 30, que na distribuição normal padrão corresponde a:
P(Z > -1)
Sabemos que a probabilidade de Z > -1 é a mesma que 1 - P(Z < -1). Usando a tabela da normal padrão:
P(Z < -1) = 0,1587
Então,
P(Z > -1) = 1 - 0,1587 = 0,8413

Resposta

A probabilidade de que, em 120 dias, sejam vendidos mais de 30 pacotes premiados na loja é aproximadamente 84,13 %.

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