Uma marca de chocolate faz uma promoção: alguns dos pacotes incluem vales que podem ser trocados por uma camiseta. O número de pacotes premiados que se vendem ao dia em uma loja é uma variável aleatória com distribuição de Poisson de parâmetro 0,3. Obtenha uma aproximação para a probabilidade de que em 120 dias se vendam nessa loja mais de 30 pacotes com prêmio.
Passo 1
Então, temos um problema onde uma marca de chocolate está fazendo uma promoção: alguns pacotes contêm vales que podem ser trocados por uma camiseta. A gente sabe que o número de pacotes premiados vendidos por dia em uma loja segue uma distribuição de Poisson com parâmetro
. O que precisamos descobrir é a probabilidade de que, em 120 dias, sejam vendidos mais de 30 pacotes premiados nessa loja. Vamos usar conceitos de probabilidade e estatística, especialmente a distribuição de Poisson e sua aproximação pela distribuição normal quando o parâmetro
é grande.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos ocorrem com uma taxa média conhecida e de forma independente. No nosso caso, os eventos são as vendas de pacotes premiados por dia.
Passo 3
Como o parâmetro
da distribuição de Poisson é 0,3 por dia, para 120 dias, o parâmetro total
será:
Então, estamos lidando com uma distribuição de Poisson com
.
Passo 4
Quando o valor de
é grande, a distribuição de Poisson pode ser aproximada pela distribuição normal. Essa aproximação facilita os cálculos, já que a distribuição normal é mais familiar e tem tabelas amplamente disponíveis.
Passo 5
Para a distribuição normal, precisamos determinar a média (
) e o desvio padrão (
). Na aproximação da Poisson pela normal:
Passo 6
Queremos encontrar a probabilidade de que, em 120 dias, sejam vendidos mais de 30 pacotes premiados. Em termos da distribuição normal, isso é:
Onde
é o número de pacotes premiados.
Passo 7
Vamos padronizar essa variável para usar a tabela da distribuição normal padrão. Usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 8
Agora, queremos a probabilidade de
, que na distribuição normal padrão corresponde a:
Sabemos que a probabilidade de
é a mesma que
. Usando a tabela da normal padrão:
Então,
Resposta
A probabilidade de que, em 120 dias, sejam vendidos mais de 30 pacotes premiados na loja é aproximadamente 84,13 %.