Suponha que retiramos, com reposição, 1000 cartas de um baralho com 52 cartas. Determine, de forma aproximada, a probabilidade de obtermos pelo menos 65, mas não mais de 90 azes, nessas retiradas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular a probabilidade de tirar pelo menos 65, mas não mais que 90 ases em 1000 retiradas de um baralho de 52 cartas, com reposição. Vamos precisar usar a Distribuição Binomial para resolver isso, que é útil quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possibilidades: sucesso ou fracasso. Aqui, um “sucesso” é tirar um ás.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os parâmetros da distribuição binomial:
- Número de tentativas, $ n = 1000 $
- Probabilidade de sucesso em cada tentativa, $ p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13} $ (já que há 4 ases em 52 cartas)
Passo 3
A distribuição binomial é dada por:
Mas calcular isso para $ k $ entre 65 e 90 pode ser complicado. Então, vamos usar a aproximação normal, que é válida quando $ n $ é grande e $ p $ não é muito próximo de 0 ou 1.
Passo 4
Para usar a aproximação normal, precisamos calcular a média ($ \mu
\sigma $) da distribuição binomial:
Passo 5
Agora, queremos a probabilidade de tirar entre 65 e 90 ases. Com a aproximação normal, isso se traduz em:
Calculando os valores padronizados:
Passo 6
Consultando uma tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, encontramos:
Então,
Resposta
A probabilidade aproximada de obter pelo menos 65, mas não mais que 90 ases em 1000 retiradas é de 88,14%.