Suponha que retiramos, com reposição, 1000 cartas de um baralho com 52 cartas. Determine, de forma aproximada, a probabilidade de obtermos pelo menos 65, mas não mais de 90 azes, nessas retiradas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular a probabilidade de tirar pelo menos 65, mas não mais que 90 ases em 1000 retiradas de um baralho de 52 cartas, com reposição. Vamos precisar usar a Distribuição Binomial para resolver isso, que é útil quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possibilidades: sucesso ou fracasso. Aqui, um “sucesso” é tirar um ás.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os parâmetros da distribuição binomial:
  • Número de tentativas, $ n = 1000 $
  • Probabilidade de sucesso em cada tentativa, $ p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13} $ (já que há 4 ases em 52 cartas)

Passo 3

A distribuição binomial é dada por:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Mas calcular isso para $ k $ entre 65 e 90 pode ser complicado. Então, vamos usar a aproximação normal, que é válida quando $ n $ é grande e $ p $ não é muito próximo de 0 ou 1.

Passo 4

Para usar a aproximação normal, precisamos calcular a média ($ \mu mu ã \sigma $) da distribuição binomial:
sigma
mu = n times p = 1000 times 113 approx 76,92

Passo 5

Agora, queremos a probabilidade de tirar entre 65 e 90 ases. Com a aproximação normal, isso se traduz em:
P(65 <= X <= 90) approx P(65 - musigma <= Z <= 90 - musigma)
Calculando os valores padronizados:
Z1 = 65 - 76,928,07 approx -1,49
Z2 = 90 - 76,928,07 approx 1,64

Passo 6

Consultando uma tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, encontramos:
P(Z <= 1,64) approx 0,9495
P(Z <= -1,49) approx 0,0681
Então,
P(-1,49 <= Z <= 1,64) = 0,9495 - 0,0681 = 0,8814

Resposta

A probabilidade aproximada de obter pelo menos 65, mas não mais que 90 ases em 1000 retiradas é de 88,14%.

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