Sejam X1, X2, ldots uma sequência de variáveis aleatórias iids tais que X1 sim U[0,1]. prove que n^-Xn 0 em probabilidade.

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.), chamadas X1, X2, ldots, onde cada Xn segue uma distribuição uniforme no intervalo [0, 1], ou seja, Xn sim U[0,1]. O objetivo é provar que n^-Xn converge para 0 em probabilidade quando n tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de convergência em probabilidade e propriedades da distribuição uniforme.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa convergir em probabilidade. Dizemos que uma sequência de variáveis aleatórias Yn converge em probabilidade para um valor Y se, para qualquer epsilon > 0, a probabilidade de |Yn - Y| ser maior que epsilon tende a zero quando n cresce. Formalmente:
limn to infty P(|Yn - Y| > epsilon) = 0
No nosso caso, queremos mostrar que n^-Xn converge para 0 em probabilidade, ou seja:
limn to infty P(n^-Xn > epsilon) = 0
para todo epsilon > 0.

Passo 3

Agora, vamos manipular a expressão n^-Xn > epsilon. Primeiro, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para facilitar o manuseio:
n^-Xn > epsilon Rightarrow ln(n^-Xn) > ln(epsilon)
Simplificando o lado esquerdo:
-Xn ln(n) > ln(epsilon) Rightarrow Xn < -ln(epsilon)ln(n)
Como ln(epsilon) é negativo (porque 0 < epsilon < 1), podemos reescrever:
Xn < ln(1/epsilon)ln(n)

Passo 4

Sabemos que Xn segue uma distribuição uniforme em [0, 1]. A função de distribuição acumulada (CDF) de Xn é:
P(Xn <= x) = x para 0 <= x <= 1
Portanto, a probabilidade que queremos calcular é:
P(Xn < ln(1/epsilon)ln(n)) = ln(1/epsilon)ln(n)

Passo 5

Agora, analisamos o comportamento de ln(1/epsilon)ln(n) quando n tende ao infinito. Sabemos que ln(n) cresce sem limite conforme n aumenta, então:
limn to infty ln(1/epsilon)ln(n) = 0
Isso significa que a probabilidade:
P(Xn < ln(1/epsilon)ln(n)) = ln(1/epsilon)ln(n) to 0 quando n to infty

Passo 6

Finalmente, juntando tudo, temos que:
limn to infty P(n^-Xn > epsilon) = limn to infty P(Xn < ln(1/epsilon)ln(n)) = 0
Isso mostra que n^-Xn converge para 0 em probabilidade.

Resposta

Portanto, comprovamos que n^-Xn 0 em probabilidade quando n tende ao infinito.

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