Sejam
uma sequência de variáveis aleatórias iids tais que
. prove que
em probabilidade.
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.), chamadas
, onde cada
segue uma distribuição uniforme no intervalo [0, 1], ou seja,
. O objetivo é provar que
converge para 0 em probabilidade quando
tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de convergência em probabilidade e propriedades da distribuição uniforme.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa convergir em probabilidade. Dizemos que uma sequência de variáveis aleatórias
converge em probabilidade para um valor
se, para qualquer
, a probabilidade de
ser maior que
tende a zero quando
cresce. Formalmente:
No nosso caso, queremos mostrar que
converge para 0 em probabilidade, ou seja:
para todo
.
Passo 3
Agora, vamos manipular a expressão
. Primeiro, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para facilitar o manuseio:
Simplificando o lado esquerdo:
Como
é negativo (porque
), podemos reescrever:
Passo 4
Sabemos que
segue uma distribuição uniforme em [0, 1]. A função de distribuição acumulada (CDF) de
é:
Portanto, a probabilidade que queremos calcular é:
Passo 5
Agora, analisamos o comportamento de
quando
tende ao infinito. Sabemos que
cresce sem limite conforme
aumenta, então:
Isso significa que a probabilidade:
Passo 6
Finalmente, juntando tudo, temos que:
Isso mostra que
converge para 0 em probabilidade.
Resposta
Portanto, comprovamos que
em probabilidade quando
tende ao infinito.